Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью (стр. 2 из 8)

3. Полуевклидова плоскость

, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости принимает вид

, где

Например, полуоевклидова плоскость - плоскость

. Для векторов этой плоскости

Тогда получим,

т.к.

Псевдоевклидова плоскость по своим аффинным свойствам не отличается от евклидовой, однако метрические свойства этих плоскостей существенно различаются. Это видно, хотя бы на примере окружности, которую на псевдоевклидовой плоскости определим как совокупность всех точек, удаленных на одно и то же псевдоевклидово расстояние r от данной точки – центра.

Если центр совпадает с началом координат О(0,0), то по определению уравнение окружности имеет вид

Радиус окружности может быть вещественным (r=a), тогда

Если радиус окружности мнимый, т.е. r=ia, то

. В случае, когда радиус r=0, имеем

Таким образом на

существует три вида окружностей. На аффинной плоскости они представляют собой пару пересекающихся прямых – окружность нулевого радиуса – и две сопряженные гиперболы, для которых указанные прямые являются асимптотами. (Рис. 1.2)

В пространстве 1R4 существует три типа 3-плоскостей.

1. Евклидова 3-плоскость R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:

Например, евклидовой 3-плоскостью является плоскость

Для векторов этой 3-плоскости

Тогда получим,

2. Плоскость 1R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:

Например, плоскостью 1R3 является плоскость

Для векторов этой 3-плоскости

Получаем,

3. Плоскость

, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:

Например, плоскостью

является плоскость

Для векторов этой 3-плоскости

Получим:

Поскольку каждая 3-плоскость ортогональна некоторой прямой, то существует только 3 типа 3-плоскостей.

Определение 1.3. Ортогональным дополнением к векторному пространству LÌ1R4 называется векторное пространство, образованное всеми векторами, ортогональными к пространству L.

Пример. Найдем множество векторов, ортогональных к вектору

. Если вектор

ортогонален

, то

. Отсюда,

Таким образом, ортогональным дополнением к вектору

является множество векторов

. Эти векторы определяют 3-плоскость

которое является 3-плоскостью вида 1R3. Следовательно, R1^1R3. Это означает, что к прямой R1 ортогональной является 3-плоскость типа1R3. Верно и обратное.

Аналогично найдем множество векторов ортогональных к вектору

. Если вектор

ортогонален

, то

. Отсюда,

Множество векторов, ортогональных вектору

, имеет вид

и определяет 3-плоскость

которое является 3-плосткостью вида R3. Следовательно, 1R1^R3. Это означает, что к прямой 1R3 ортогональной является 3-плоскость типа R3. Верно и обратное.

Рассмотрим вектор (

) и найдем множество векторов ортогональных к данному вектору. Если вектор

ортогонален (

), то

Получаем, что

Отсюда,

, а

— произвольные.

- это множество векторов, ортогональных вектору (

) и определяет 3-плоскость

которое является 3-плосткостью вида

. Значит,

. Это означает, что к прямой

ортогональной является 3-плоскость типа

. Верно и обратное.

Заметим, что

Найдем множество векторов, ортогональных к векторам

. Если вектор

ортогонален

, то

Отсюда,