Смекни!
smekni.com

Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью (стр. 3 из 8)

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам

является множество векторов
. Эти векторы определяют 2-плоскость
которая является 2-плосткостью вида 1R2. Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2).

Найдем множество векторов, ортогональных к векторам

. Если вектор
ортогонален
, то
Отсюда,

Û

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам

является множество векторов
. Эти векторы определяют 2-плоскость
которое является 2-плосткостью вида R2, Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2). Верно и обратное.

Найдем множество векторов, ортогональных к векторам
Если вектор
ортогонален
, то

Отсюда,

Û

Û

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам

является множество векторов
. Эти векторы определяют 2-плоскость
которая является 2-плосткостью вида
. Следовательно,
^
.

Таким образом, получена теорема.

Теорема 1.1. В пространстве 1R4 существуют следующие типы прямых, плоскостей и 3-плоскостей:

- прямые: R1, 1R1,

.

- 2-плоскости: R2, 1R2,

.

- 3-плоскости: R3, 1R3,

.

§2. Кривые в пространстве 1R4

В пространстве 1R4 выберем базис

,

где

Точка MÎ1R4, имеющая в репере R координаты (
): M(
)R.

Определение 2.1. Кривой в пространстве 1R4 называется множество точек этого пространства, координаты которых задаются уравнениями:

(6)

Или в векторном виде

. (7)

Определение 2.2. Функция, имеющая непрерывные производные до k-го порядка включительно на отрезке [a,b], называется k раз дифференцируемой функцией на этом отрезке.

Определение 2.3. Кривая g называется дифференцируемой класса Сk, если функции (6), задающие параметрические уравнения, являются k раз дифференцируемыми функциями.

Пусть кривая g является кривой класса C3. Рассмотрим на дифференцируемой кривой g вектора:


.

Определение 2.4. Точка M, принадлежащая кривой g, называется неособой, если в этой точке вектора

,
линейно независимы. В противном случае точка M кривой g называется особой.

Определение 2.5. Прямая

называется касательной к кривой в точке M, 2-плоскость
называется соприкасающейся плоскостью кривой g, 3-плоскость
называется соприкасающейся 3-плоскостью кривой g в точке M.

Очевидно,

Ì
Ì
.

Теорема 2.1. Кривая g имеет в каждой точке касательную и притом единственную.

Если r=r(t) - векторное уравнение кривой, то касательная в точке Р, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора r'(t).

Теорема 2.2. Кривая g имеет в каждой точке соприкасающуюся плоскость. При этом соприкасающаяся плоскость либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную к кривой, является соприкасающейся.

Если r=r(t) – уравнение кривой g, то соприкасающаяся плоскость в точке, соответствующей значению параметра t, параллельна векторам r'(t) и r''(t).

Теорема 2.3. Задание касательной, соприкасающейся плоскости и соприкасающейся 3-плоскости корректно, т.е. не зависит от параметризации кривой.

Для доказательства достаточно перейти к новому параметру и сравнить направляющие вектора.

Определение 2.5. Соприкасающийся флаг – это совокупность, состоящая из точки кривой, касательной к кривой в этой точке, соприкасающейся 2-плоскости к кривой в этой точке и соприкасающейся 3-плоскости к кривой в этой точке. [M,

], M Ì
Ì
Ì
.

Соприкасающийся флаг может быть следующих видов.

10. {M, R1, R2, R3}. Например,

20. {M, R1, 1R2, 1R3}. Например,

30. {M, R1,

, 1R3}. Например,

40. {M, R1,

,
}. Например,

50. {M, 1R1, 1R2, 1R3}. Например,

60. {M,

,
, 1R3}. Например,

70. {M,

,
,
}. Например,