Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью (стр. 4 из 8)
80. {M, R1, R2, 1R3}. Например,
90. {M, R1, R2,
}. Например, 
100. {M,
, 1R2, 1R3}. Например, 
Более подробно в своей дипломной работе я рассмотрю кривые, имеющие соприкасающийся флаг вида 20.
Рассмотрим кривую g с соприкасающимся флагом 20.
Построим в произвольной точке M кривой g канонический репер {M, e1, e2, e3, e4}.
Введем на кривой g естественную параметризацию s следующим образом:
(8)Теорема 2.4. Для кривой g:
, заданной в естественной параметризации, получим 
(9)Доказательство.
.Из (8) следует
. Значит, 
и, следовательно,
, 
. (10)Дифференцируем равенство (10):
Отсюда, 
Ч.т.д.
Вектор
направлен по касательной 
в точке М: 
. Вектор 
выберем в соприкасающейся плоскости 
перпендикулярно :Условие перпендикулярности к
в соприкасающейся плоскости: 
Отсюда: 
. 
Вектор
выберем в соприкасающейся 3-плоскости 
перпендикулярно векторам 
и 
. 
(11)Найти
и 
можно используя условия ортогональности: 
Подставив
и в формулу (8) получим вектор 
.Вектор
выберем в 1R4 перпендикулярно , 
, 
.В нашем случае векторы
, , 
- векторы действительной длины, а вектор 
- вектор мнимой длины.Пусть кривая g задана в естественной параметризации. Вектора
, 
, 
, канонического репера будут заданы тоже с помощью параметра s.Рассмотрим векторы
, 
, 
. Эти векторы можно будет разложить по базису , , 
: 
(12)Теорема 2.5. Производная вектора постоянной длины перпендикулярна этому вектору.
Доказательство.
Пусть
Ч.т.д.
Из теоремы 2.5. следует, что
.Домножим первое уравнение (12) скалярно на
. Получим 
. Аналогично,
. (13)Домножим первое уравнение (12) скалярно на
, второе на , затем сложим их. ( , 
)+( , 
)= 
+ 
. Выражение 
=0.Отсюда,
= .Аналогично,
= 
, 
= 
, 
= 
, 
= 
, 
= 
.Выберем
, 
. При этом 
имеет действительную длину. Тогда
(14)Исходя из (12) и (14), получим
= 
. Следовательно, 
= =0. 
.Значит,
раскладывается по векторам , , , задающим . Значит, =0, а следовательно 
=0.