Сама кривая g называется ребром возврата этого торса. Каждая касательная к ребру возврата называется прямолинейной образующей торса.
(21)(21) – уравнение торса, определяемого ребром возврата
.На ребре возврата
выберем естественную параметризацию. Пусть t=t(s), тогда и s=i .Свойства естественной параметризации:
1.
;
. Значит 2.
;(
)= =1 ( )+ ( )=0;2(
)=0 ( )=0 Исследуем торс (21) в пространстве 1R4, обозначив при этом t = u, t = v.
Тогда уравнение торса (21) запишется в виде:
. (22)По теореме о развертывающейся линейчатой поверхности векторы
должны лежать в одной плоскости. Очевидно, что данные вектора лежат в одной плоскости, т.к. два из них одинаковы. Следовательно, торс развертывающаяся линейчатая поверхность, а значит, касательная плоскость к торсу в любой его точке не зависит от параметра v, что легко доказать. Действительно из формул (22) получим: Þ Это означает, что базисы {
} и { } выражаются друг через друга. Из этого следует, что
(23),при любом параметре v, значит касательная плоскость к торсу одна и та же вдоль образующей. Известно, что соприкасающаяся плоскость к кривой g в точке M определяется векторами
. Таким образом, исходя из формулы (23) получим, что соприкасающаяся плоскость ребра возврата g - есть касательная плоскость к торсу.Рассмотрим торс пространства 1R4, порожденной кривой
определяемый уравнением (23). Введем координатные линии на поверхности торса: u-линии (v=c) и v-линии (u=c). Найдем скалярное произведение векторов (24)
В общем случае относительно величин
и ничего сказать нельзя. Поэтому будем делать предположение относительно кривой g. Предположим, что касательный вектор к кривой g во всех точках является вектором действительной длины. На ребре возврата g выбираем естественную параметризацию. Пусть u=u(s), тогда и Параметр s обозначим через u, получим , т.е. вектор имеет постоянную длину, тогда поскольку , из (24) следует, что , а значит координатные линии на торсе в такой системе координат не ортогональны. Перейдем к новым координатам U и V так, чтобы координатные линии были ортогональны, причем заметим, чтоv-линии – это прямолинейные образующие торса. При переходе к новым координатам потребуем, чтобы семейство v-линий осталось прежним, а u-линии изменились и стали перпендикулярны v-линиям. Таким образом, перед нами стоит задача отыскания ортогональных траекторий к прямолинейным образующим торса.Рассмотрим первую квадратичную форму поверхности, которая при условии, что касательная плоскость к торсу является псевдоевклидовой.
Пусть S – гладкая поверхность,
- ее векторное уравнение и Первой квадратичной формой поверхности S называют выражение I=
.Запишем это выражение подробнее. Имеем
откуда
. (25)Выражение (25) в каждой точке поверхности S представляет собой квадратичную форму от дифференциалов du и dv.
Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения:
.Таким образом первая квадратичная форма имеет вид:
(26) Угол между кривыми равен углу между касательными. Пусть гладкие кривые x1 и x2 лежат на поверхности S с векторным уравнением
и пересекается в некоторой точке X0.Вектор
лежит в касательной плоскости к поверхности S в точке X0 (Рис.4.2).Значения дифференциалов
можно выбрать так, чтобы был вектором касательной к кривой x1 в точке X0. Достаточно взять ( ) (здесь u=u(t) и v=v(t) – уравнения кривой x1 на поверхности S).Аналогично строится вектор
- вектор касательной к кривой x2 в точке X0, отвечающий значениям дифференциалов , функций, определяющих кривую x2: .Поэтому
Требуется, чтобы ортогональные линии были ортогональны, т.е.
Учитывая, что u – естественный параметр, найдем коэффициенты E, F, G:
Подставляя полученные выражения в (26) имеем
Воспользовавшись (27) и полученными выражениями для коэффициентов, получим
Разделим последнее равенство на , получим
Исходное семейство линий задано дифференциальным уравнением
, а ортогональные траектории получены в виде Подставляя эти выражения в (28), имеем уравнение для , из которого . Учитывая, что исходное семейство линий – это v-линии, для которых du=0, а значит l=0, получим m=-1. Таким образом, , решая это дифференциальное уравнение, находим u+v=const – условие ортогональности траекторий. Итак, искомая замена координат имеет вид: