Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью (стр. 7 из 8)

Тогда обратная замена:

Уравнение торса в новых координатах примет вид:

Обозначим U, V теми же символами u, v тогда уравнение торса перепишется следующим образом:

.(29)

Рассмотрим на торсе (29) кривую

u=u(t), v=v(t).(30)

Получим ее уравнение в виде:

. (31)

Направляющий вектор касательной:

. (32)

Касательная к любой кривой, лежащей на торсе и проходящей через данную точку N, лежит в плоскости

Эта плоскость будет называться касательной плоскостью к торсу и обозначается

Найдем векторы

. Из уравнения (29) получим:

Таким образом, плоскость

определяется точкой L торса и векторами

, и следовательно, совпадает с соприкасающейся плоскостью ребра возврата g.

Получена теорема.

Теорема 4.1. Касательная плоскость к торсу в произвольной точке прямолинейной образующей совпадает с соприкасающейся плоскостью к ребру возврата в точке касания прямолинейной образующей.

Построим канонический репер в произвольной точке N торса. Будем считать параметр u естественным параметром ребра возврата. Тогда согласно

(9):

Введем следующие обозначения:

Тогда

- вектор мнимой длины, а

- вектор единичной длины, взаимно ортогональные и лежат в касательной плоскости к торсу в точке N, совпадающей с соприкасающейся плоскостью ребра возврата, причем

идет по прямолинейной образующей, а

ему ортогонален.

Вектора

получим из векторов

соприкасающегося репера ребра возврата параллельным переносом в точку L. При этом получим репер

в произвольной точке L торса, с условием

.(33)

Уравнение (33) целиком определяется торсом. Этот репер

будем называть каноническим репером торса.

Найдем деривационные формулы канонического репера торса

с учетом того, что

зависят только от u. С учетом (14) и (15):

(34)

§5. Линии на торсах пространства Минковского

Рассмотрим торс в пространстве Минковского, заданный уравнением (29)

Будем считать, что соприкасающийся флаг ребра возврата

имеет тип 50: {M, 1R1, 1R2, 1R3, 1R4}, где параметр u есть естественный параметр на ребре возврата

. В данном случае на торсе строится канонический репер {M,

}. Деривационные формулы этого репера имеют вид (34).

Определение 5.1. Кривая d: u=u(t); v=v(t) (35) на торсе Т называется (k,n) – геодезической, если соприкасающаяся n - плоскость этой кривой в каждой точке содержит k – мерную нормаль к торсу.

Возможны варианты: (1,2); (1,3); (2,3). Выясним существуют ли такие геодезические кривые на торсе данного типа. Касательная плоскость к торсу в точке L есть плоскость

, а нормальная плоскость к торсу

. Найдем соприкасающуюся 2-плоскость линии d: r=r(u(t),v(t)). Эта плоскость определяется так:

. Находим производные вектор - функции, преобразуем их с помощью деривационных формул (34):

(36)

(37)

(

(38)

Нормаль к торсу

зададим в виде:

. С другой стороны, нормаль к поверхности, исходя из определения, содержится в соприкасающейся 2-плоскости

, т.е.

. Составим уравнение

=p(

)+q(