Систематичний відбір (стр. 2 из 14)
РОЗДІЛ І. СИСТЕМАТИЧНИЙ ВІДБІР
1.1 Оцінювання середнього та сумарного значення популяції
Введемо поняття кластеру. Кластер – це група одиниць популяції, яка розглядається як вихідна одиниця вибірки. Нехай
. Популяцію можна розбити на 
кластерів, у кожному з яких знаходиться n одиниць. Тоді процедура випадкового відбору систематичної вибірки 
го порядку така ж сама, як і процедура вибору одного із кластерів (див. табл. 1.1.1).Таблиця 1.1.1 Можливі систематичні вибірки
го порядку | Страти | Кластер | Середнє страти | |||||
| 1 | 2 | … | i | … | k | ||
| 1 |  |  | … |  | … |  |  |
| 2 |  |  | … |  | … |  |  |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
 |  |  | … |  | … |  |  |
| Середнє систематичної вибірки |  |  | … |  | … |  | |
Нехай випадкова величина
– середнє значення систематичної вибірки, тобто з імовірністю 
дорівнює значенню , 
.Розподіл
має вигляд ~ 
. Теорема 1.1.1. Середнє значення
систематичної вибірки є незміщеною оцінкою для середнього значення популяції 
.Доведення.
,де
-ий член 
-тої систематичної вибірки, 
, 
,зокрема, дисперсія
дорівнює 
.Теорема доведена.
Теорема 1.1.2. Дисперсія середнього значення систематичної вибірки визначається формулою
(1.1.1)Де
є дисперсією одиниць, які належать одній систематичній вибірці (wsy − від англ. within − всередині та systematic − систематичний).
Доведення.
Дисперсія популяції з
одиниць визначається формулою 
.Розглянемо тотожність
.Піднесемо обидві частини рівності до квадрату
.Підсумуємо праву та ліву частини рівності за
та 
: 
Покажемо, що
: 
Отже, маємо
, 
.Дисперсія
дорівнює 
(обчислена за таблицею розподілу
). Тоді
.Звідси
,або, що теж саме,
.Теорема доведена.
Наслідок. Середнє значення для систематичної вибірки більш точне, ніж середнє для простої випадкової вибірки, тобто
тоді і тільки тоді, коли
. (1.1.2)Доведення.
Дисперсія середнього значення простої випадкової вибірки дорівнює
.Тоді з (1.1.1) випливає, що
тоді і тільки тоді, коли 
.Звідси маємо
.Домножимо обидві частини нерівності на
та праворуч винесемо 
: 
.Враховуючи, що
маємо 
,або,
.Отже ,
.Наслідок доведено.
Таким чином, систематичний відбір точніший, ніж простий випадковий відбір, якщо дисперсія
одиниць систематичних вибірок більша дисперсії всієї популяції. Систематичний відбір точний, коли одиниці всередині однієї й тієї ж вибірки неоднорідні, та неточний, коли вони однорідні. До цього можна прийти інтуїтивно. Якщо всередині систематичної вибірки варіація у порівнянні з варіацією популяції невелика, то послідовно вибрані одиниці вибірки несуть більш або менш однакову інформацію. Інший вираз для дисперсії наведемо у теоремі 1.1.3.Теорема 1.1.3.
, (1.1.3)