Смекни!
smekni.com

Формации конечных групп (стр. 10 из 14)

Пусть для формации

выполнено условие (2). Допустим, что
. Тогда
. Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Поскольку
, то
. Так как при этом
, то
. Если
, то
, что невозможно. Значит,
. Но
. Следовательно,
. Противоречие. Таким образом,
.

Тогда

и
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Выберем в
группу
минимального порядка. Тогда
– монолитическая группа с цоколем
и
. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый
-модуль
. Обозначим через
. Ввиду леммы 16 группа
. Так как
, то
. Предположим, что
неабелев цоколь группы
. Ввиду того, что
и

то
. Следовательно, по лемме 13 имеем
. Поскольку
и
, то группа
изоморфна группе
. Но тогда
. Однако
. Поэтому
и
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
– абелева
-группа, для некоторого простого числа
. Допустим, что
. Пусть
– группа порядка
. Тогда
. Пусть
– точный неприводимый
-модуль и
. Применяя лемму 16, получим
. Ввиду леммы 11 формация
имеет
-дефект 1. Поскольку
и
, то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит,
. Поскольку
и