Формации конечных групп (стр. 11 из 14)

то . Следовательно, по лемме 13 имеем Так как и , то группа изоморфна группе . Но – неабелева -группа. Противоречие. Следовательно, данный случай невозможен.

Пусть формация

такая, что . Так как , то . Но тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть – группа минимального порядка из . Тогда является монолитической группой с цоколем . Понятно, что и . Применяя лемму 15 получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то .

Пусть

– абелева -группа для некоторого простого числа . Если , то . Противоречие. Значит, . Кроме того, понятно, что . Так как в противном случае и по лемме 11 формация имеет -дефект 1, что невозможно. Поскольку и , то . Тогда по лемме 13 получим, что . Так как и , то группа изоморфна группе .

Пусть

– неабелев цоколь группы . Тогда так как и , то . Применяя теперь лемму 13, заключаем, что . Так как и получаем, ввиду монолитичности , что группы и изоморфны.

Кроме того, заметим, что

. Поскольку иначе найдется группа простого порядка , такая, что . Пусть – точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1. Поскольку и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Таким образом, группа удовлетворяет условию 1.3) теоремы.

Пусть теперь

– -группа и пусть формация удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда или, соответственно, . Если , то или . Но – -группа. Значит, . Противоречие. Поэтому . Но тогда – единственная максимальная подформация и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации равен 1. Значит, удовлетворяет условию 3.1) или 3.2) теоремы.