Формации конечных групп (стр. 3 из 14)

– группа Шмидта с
, где
– абелева
-группа,
и
– простое число;

– неабелева
-группа,
, где
, причем, если
, то
и
– простая неабелева группа.

Лемма 12 [6]. Пусть

– монолитическая группа с неабелевым монолитом
. Тогда если простое число
делит порядок группы
, то
.

Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть

– произвольная непустая формация и пусть у каждой группы

-корадикал
не имеет фраттиниевых
-главных факторов. Тогда если
– монолитическая группа из
, то
.

Лемма 14 [2, с.168]. Пусть

и
– формации, причем
– локальна и
– группа минимального порядка из
. Тогда
монолитична, ее монолит совпадает с
и если
–
-группа, то
.

Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе

имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и
(
– некоторое простое число), то существует точный неприводимый
-модуль, где
– поле из
элементов.

Лемма 16 [4]. Пусть

–
-насыщенная формация и
– ее
-локальный спутник. Если
, то
.

Лемма 17 [4]. Пусть

и
– минимальные
-локальные
-значные спутники формаций
и
соответственно. Тогда
в том и только в том случае, когда
.

Лемма 18 [10]. Пусть

(
), где
– такая монолитическая группа с неабелевым монолитом
, что
и
. Тогда
имеет единственную максимальную
-кратно
-насыщенную подформацию
, причем
.

Основные результаты

Теорема 1. Пусть

–
-кратно
-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае
-дефект формации
равен 1, когда
, где
–
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация формации
,
– минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация формации
, при этом: 1) всякая
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация из
входит в
; 2) всякая
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация
из
имеет вид

Доказательство. Необходимость. Пусть

-дефект формации
равен 1. Так как
не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в
входит некоторая минимальная

-кратно

-насыщенная ненильпотентная подформация

. По условию

– максимальная

-кратно

-насыщенная подформация в
. Значит,