Смекни!
smekni.com

Формации конечных групп (стр. 6 из 14)

Поскольку

– собственная
-кратно
-насыщенная подформация формации
, то число разрешимых подформаций формации
меньше чем у
. Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации
имеется лишь конечное множество разрешимых
-кратно
-насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация
(где
) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо
, где
-приводимая формация
-дефекта 2,
– наименьшая неединичная разрешимая подформация формации
, такая что
.

Обозначим через

максимальную
-кратно
-насыщенную подформацию формации
, имеющую нильпотентный
-дефект, равный 1. Так как
-приводимая формация, то в
существует такая группа
, что
. Ввиду максимальности формации
в формации
справедливо
. По теореме 1 и предположению единственности
получаем, что
, где
– некоторая нильпотентная
-кратно
-насыщенная подформация формации
. Тогда

Но

по предположению индукции. Следовательно, формация
не может быть
-приводимой формацией. Значит,
, где
,
-неприводимая формация
-дефекта 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть

, где
,
и
– различные минимальные
-кратно
-насыщенные ненильпотентные формации. Пусть
,
,
и
-дефекты формаций
,
,
и
соответственно. Тогда по лемме 2
-дефект формации
не превосходит
. С другой стороны по лемме 5
-дефект формации
больше либо равен
. Таким образом,
-дефект формации
равен 2.

Аналогично рассматривается случай, когда

, где
,
-неприводимая формация
-дефекта 2. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть

-кратно
-насыщенная формация
. Тогда и только тогда формации
­ –
-неприводимая формация

-дефекта 2, когда
, где
– такая монолитическая группа с цоколем
, что выполняется одно из следующих условий:

1)

, где
-группа,
, а
– группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:

1.1) циклическая примарная группа порядка

;

1.2) неабелева группа порядка

простой нечетной экспоненты
;