Формации конечных групп (стр. 7 из 14)

1.3) монолитическая группа с цоколем

и

–

-группа;

2)

– неабелева группа,

, а группа

удовлетворяет одному из следующих условий:

2.1)

-группа, где

;

2.2) элементарная абелева

-группа,

;

2.3) подпрямое произведение групп изоморфных

, где

– такая монолитическая группа с цоколем

, что

– неабелева группа,

;

3)

–

-группа, формация

имеет

-дефект 1,

–

-базисная группа, где

,

, а

– такая монолитическая группа с цоколем

, что выполнено одно из следующих условий:

3.1)

– группа Шмидта с

, где

– абелева

-группа,

и

– простое число,

;

3.2)

– неабелева группа, причем

;

3.3)

–

-группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть

– -неприводимая формация -дефекта 2, – максимальная -кратно -насыщенная подформация формации с каноническим спутником . Заметим, что ввиду леммы 7 спутник является -кратно -локальным. Тогда является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Пусть и – минимальные -кратно -локальные спутники формаций и соответственно. В силу замечания 2 [4] имеем , для всех .

Применяя лемму 8, получим, что

, где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо (, и – -критическая формация для всех , либо и – -критическая формация. По теореме 1 , где – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , .

Предположим, что

. Тогда найдется простое число . Пусть – группа порядка . Тогда . Так как – максимальная -кратно -насыщенная подформация формации и , то . Но формация является -неприводимой по условию теоремы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть

и – минимальные -кратно -локальные спутники формаций и соответственно. По лемме 9 формации и имеют такие внутренние -кратно -локальные спутники и , принимающие соответственно значения , при , , при , , при , и , при , , при , , при . Ввиду леммы 10 справедливо равенство .