Смекни!
smekni.com

Формации конечных групп (стр. 8 из 14)

В силу леммы 11

, где
– такая монолитическая группа с цоколем
, что либо
, либо
и выполняется одно из следующих условий:

(1)

–группа Шмидта с
, где
– абелева
-группа,
и
– простое число;

(2)

– неабелева
-группа
, где
.

Заметим, что если

, то любая
-насыщенная подформация из
является насыщенной. Следовательно, любая
-кратно
-насыщенная подформация формации
является
-кратно насыщенной. По лемме 6 при
всякая
-кратно насыщенная формация с
-дефектом 2 приводима. Поэтому при
формация
не может быть
-
неприводимой формацией, что противоречит условию. Таким образом,
.

Допустим, что

– неабелев цоколь группы
. Пусть
и
. Тогда по лемме 12 имеем
. Значит,

Пусть для формации

выполнено условие (1). Предположим, что
. Так как
, то имеем
. Тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Значит,
,
и
-дефект формации
равен 1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому
. Используя лемму 9, имеем

.

Следовательно,

.

Покажем, что

. Действительно, если
, то найдется такое
, что
. Поскольку
, то
. Тогда
. Так как
делит порядок
, то по лемме 12 имеем
. Тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Поскольку
и
, то
. Так как при этом
и
, то
. Но
. Противоречие. Поэтому
.

По лемме 9 имеем

Следовательно,
и
является минимальной
-кратно
-насыщенной не
-формацией.

Ясно также, что

, поскольку в противном случае
-дефект формации
равен 1 в силу леммы 11.

Если

, то
. Значит,
является минимальной
-кратно
-насыщенной не
-формацией. Поэтому
. Значит,
, и формация
удовлетворяет условию 2.1) теоремы.