Смекни!
smekni.com

Формации конечных групп (стр. 9 из 14)

Если

, то
. Тогда
. Так как
, то
, т.е.
является элементарной абелевой
-группой, и формация
удовлетворяет условию 2.2) теоремы.

Пусть для формации

выполнено условие (2). Покажем, что
. Предположим, что существует
. Тогда
. Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Последнее невозможно, так как
. Поэтому
. Но
. Следовательно,
.

Ввиду леммы 12,

. Так как
, то
– минимальная не
-формация. Значит,
. Но, как нетрудно показать,
. Если
, то по лемме 11
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
и
. Но тогда
Так как при этом группа
является монолитической группой с неабелевым цоколем
, то применяя лемму 13 получим, что
– подпрямое произведение групп изоморфных группе
. Таким образом, группа
удовлетворяет условию 2.3) теоремы.

Пусть теперь

– такая формация, что
– монолитическая группа с цоколем
,
. Так как
, то
. Но тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Значит,
и по лемме 11 получаем, что
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.

Пусть

– абелева
-группа,
. Тогда по лемме 14 имеем
. Пусть формация
удовлетворяет условию (1).

Предположим, что

. Тогда
. Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Пусть
– группа минимального порядка из
. Тогда
является монолитической группой с цоколем
. Ясно, что
и
. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый
-модуль
. Обозначим через
. Ввиду леммы 16 группа
. Так как
, то
. Поскольку
и формация
разрешима, то
– абелева
-группа для некоторого простого числа
. Но
. Если
, то группа
нильпотентна. Поскольку
, то
– группа простого порядка
. Но тогда по лемме 11 получаем, что
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Поэтому
. Так как при этом
, то
, что невозможно. Поэтому
.

Но тогда

и
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация.

Рассмотрим группу

. Тогда
является монолитической группой с цоколем
. Поскольку
и формация
разрешима, то
– абелева
-группа для некоторого простого числа
. Ясно, что
. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый
-модуль
. Обозначим через
. Ввиду леммы 16 группа
. Так как
, то
. Но
. Значит,
. Но
– монолитическая группа. Значит,
-группа. Если
, то
, что невозможно. Значит,
. Если
, то по лемме 11
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
. Поскольку
, то
. Таким образом,
и
. Тогда
– минимальная не
-формация. Поскольку группа
нильпотентна, то любая собственная подгруппа из
принадлежит
. Таким образом,
– минимальная не
-группа. Так как при этом
-группа, то
либо циклическая примарная группа порядка
, либо неабелева группа порядка
простой нечетной экспоненты
. Но тогда группа
удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.