Абстрактное отношение зависимости (стр. 2 из 9)

Пример 3.

Пусть на множестве A задано рефлексивное и симметричное бинарное отношение

(называемое отношением сходства). Подмножество X множества A будем считать зависимым, если оно содержит два различных элемента, находящихся в отношении .

Оболочкой множества

служит множество

В этом случае можно усилить аксиому

отношения зависимости следующим образом:

Z

Z.

Тогда оболочкой множества

будет множество всех элементов, находящихся в отношении сходства хотя бы с одним элементом из множества .

Введенное отношение зависимости будет транзитивным тогда и только тогда, когда соответствующее бинарное отношение

будет транзитивно, то есть является отношением эквивалентности на .

В случае, когда

- отношение эквивалентности будет независимым тогда и только тогда, когда множество содержит не более одного элемента. Любое максимальное независимое подмножество будет содержать ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности .

Пример 4.

Рассмотрим четырехэлементное множество

.

Назовем подмножество

множества

зависимым тогда и только тогда, когда

или

.

Z

.

Рассмотрим подмножество

множества

, по введенному определению оно будет независимо. Рассмотрим оболочку множества и найдем оболочку оболочки нашего множества . Таким образом, мы получили , то есть рассмотренное нами отношение зависимости не является транзитивным.

Пример 5.

Рассмотрим произвольное множество

и

. Множество

будем считать зависимым, если

B (А)\ B (В), то есть

, но

. Таким образом, получили следующее транзитивное пространство зависимости: B (А)\ B (В

. Оболочкой будет множество .

В частности можно рассмотреть 2 случая:

1.

, то есть все множества независимы, тогда .

2.

B (А)

, то есть все множества, кроме пустого, будут зависимыми, в этом случае .

Пример 6.

Рассмотрим произвольное множество

и его непустое конечное подмножество

. Введем на множестве А следующее отношение зависимости

Z

B (А)

.

Таким образом, зависимыми будут все надмножества множества

.

Если

, то .

Если

, то .

Если

, то .

Получаем транзитивное пространство зависимости.

Пример 7.

Подпространство пространства зависимости

Z

. Рассмотрим

, где действует то же отношение зависимости Z. Тогда получим индуцированное пространство зависимости Z

B

. В этом случае зависимыми будут только те подмножества множества , которые были зависимы в пространстве

Z

. И если пространство

Z

транзитивно, то транзитивным будет и подпространство .