Абстрактное отношение зависимости (стр. 5 из 9)

Доказательство:

Рассмотрим систему J таких независимых подмножеств Z множества A, что

.

Так как X независимо, то такие множества существуют; кроме того, если

— некоторое линейно упорядоченное множество множеств из J, то его объединение снова принадлежит J, поскольку Z удовлетворяет условию

, и если Z зависимо, то некоторое конечное подмножество множества Z должно было бы быть зависимым; это подмножество содержалось бы в некотором множестве в противоречии с тем фактом, что все независимы.

По лемме Цорна J имеет максимальный элемент М; в силу максимальности каждый элемент множества Y либо принадлежит М, либо зависит от М, откуда

. Этим доказано, что М — базис в A. Так как , то М имеет вид , где удовлетворяет условиям .■

Определение 11.

Пространство зависимости

Z

называется конечномерным, если любое его независимое множество конечно.

Теорема 3.

Пусть

Z

- транзитивное пространство зависимости. Тогда любые два базиса в этом пространстве равномощны.

Доказательство:

Рассмотрим сначала случай конечномерного пространства

.

Пусть В, С — любые два базиса в А, их существование обеспечивается теоремой 2, и

, , , где различные элементы обозначены различными буквами или снабжены различными индексами. Применим индукцию по max (r, s).

Если r = 0 или s = 0, то

или , и . Поэтому можно предполагать, что r ≥ 1, s ≥ 1, без ограничения общности будем считать, что r > s, так что на самом деле r > 1.

Предположим, что базисы будут равномощными для любого t < r

По лемме о замене множество

можно дополнить до базиса D элементами базиса С, скажем

, t ≤ s < r.

Теперь пересечение D c В состоит из n + 1 элемента, и D содержит, кроме того, еще t (< r) элементов, тогда как В содержит, кроме этого пересечения, еще r - 1 элементов, так что по предположению индукции

, то есть .

Поскольку r > 1, отсюда вытекает, что t ≥ 1, и поэтому пересечение D с С содержит не меньше чем n+1 элементов. Используя еще раз предположение индукции, находим, что

и, следовательно, r = s и базисы В и С равномощны.

Далее, пусть В - конечный базис в

. Тогда и любой другой базис С пространства

будет конечным. Действительно, В выражается через конечное множество элементов

в силу транзитивности будет порождающим и независимым множеством в

, то есть .

Наконец, если базисы В и С бесконечны. Каждый элемент из В зависит от некоторого конечного подмножества базиса С, и наоборот. Мощность множества всех конечных подмножеств всякого бесконечного множества равна мощности самого множества. Поэтому мощности В и С совпадают.■

Теорема 4.

Пусть

Z

- произвольное пространство зависимости, тогда следующие условия эквивалентны

(i) Z транзитивно;

(ii) для любого конечного

;

(iii)

конечных и Z

Z;

(iv) для любого конечного

.

Доказательство:

(i)

(ii) Справедливо по теореме 3 и примеру 7.

(ii)

(iii) Возьмем

, так что - независимы и . Допустим, что утверждение Z неверно. Тогда Z. Рассмотрим . Имеем . Но Z, поэтому Z . По (ii) имеем . Но - противоречие.

(iii)

(ii) Докажем от противного. Пусть

. Можно считать, что . Тогда по (iii) независимо. Получили противоречие с максимальностью

(iii)

(i) Нужно доказать равенство

для произвольного

.

Возьмем

и покажем, что Так как , то Пусть существует , тогда независимо и существует Z и Z . Расширяя в можно предположить, что По (ii) , то есть . Поэтому по (iii) Z . видим, что . Значит, . Получаем противоречие с тем, что Следовательно, , то сеть .