Абстрактное отношение зависимости (стр. 6 из 9)
Теперь достаточно показать, что
. Пусть 
, тогда 
зависимо, расширяя 
в 
можно предположить, что 
, кроме того 
, тогда по (ii) 
. 
независимо, поэтому 
. По (iii) 
Z . видим, что 
. Значит, 
, получили противоречие с максимальностью 
. Следовательно, 
, обратное включение очевидно, поэтому 
.(iv) 
(ii) В силу теорем 1 и 3 и доказанной эквивалентности
(i) (ii).■
Далее будем рассматривать произвольное конечномерное транзитивное пространство зависимости 
Z 
.
Определение 12.
Мощность максимального независимого подмножества данного множества 
называется рангом этого множества: 
.
Будем рассматривать конечные подмножества
.Имеют место следующие свойства.
Свойство 1о: 
Z
.Доказательство:
Z 
.Свойство 2о:
Z 
.Доказательство: Z, возьмем 
, тогда по свойству 1о
и 
. Обратное утверждение следует из определения 13.Свойства 3о – 7о сформулированы для 
.
Свойство 3о:
.Доказательство: Ясно, что
, и так как число элементов любого подмножества не больше числа элементов самого множества, то данное свойство выполняется.Свойство 4о:
.Доказательство: следует из того, что любое независимое подмножество в
можно продолжить до максимального независимого подмножества в 
;Свойство 5о:
.Доказательство:
Пусть
Тогда 
И затем 
. Имеем 
.Свойство 6о:
.Доказательство: вытекает из свойства 40;
Свойство 7о:
.Доказательство:
.§4. Связь транзитивных отношений зависимости с операторами замыкания
Транзитивное отношение зависимости также может быть описано с помощью алгебраического оператора замыкания некоторого типа. Для начала сформулируем определения используемых понятий.
Определение 13.
Множество E подмножеств множества A называется системой замыканий, если 
E и система E замкнута относительно пересечений, т. е. ∩D 
E для любой непустого подмножества D 
E
Определение 14.
Оператором замыкания на множестве A называется отображение J множества B (A) в себя, обладающее следующими свойствами:
J. 1. Если 
, то J(X) 
J(Y);
J. 2. X J(X);
J. 3. JJ(X) = J(X), для всех X, Y B (A).
Определение 15.
Оператор замыкания J на множестве A называется алгебраическим, если для любых 
и 
влечет 
для некоторого конечного подмножества 
множества 
.
Определение 16.
Система замыканий называется алгебраической, если только соответствующий оператор замыкания является алгебраическим
Следует отметить теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыканий.
Теорема 5.
Каждая система замыканий E на множестве
определяет оператор замыкания J на 
по правилу J(X) = ∩{Y 
E | Y 
X}. Обратно, каждый оператор замыкания J на 
определяет систему замыканий E 
J 
.