Теорія ймовірності та її застосування в економіці (стр. 2 из 3)
Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.
Таблиця 5
Допоміжні розрахунки
| Сума | |||||
| x | 1 | 2 | 4 | 5 | 12,00 |
| f (x) | 0,033 | 0,081 | 0,081 | 0,033 | 0,228 |
 | 16,000 | 9,000 | 1,000 | 0,000 | 26,000 |
 | 0,528 | 0,729 | 0,081 | 0,000 | 5,928 |
Отже, D (X) = 5,928
Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:
б) М (Х) =2.
Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6.
Таблиця 6
Допоміжні розрахунки
| Сума | |||||
| x | 0,5 | 1 | 3 | 3,5 | 8,00 |
| f (x) | 0,13 | 0,24 | 0,24 | 0,13 | 0,74 |
 | 2,25 | 1 | 1 | 2,25 | 6,50 |
 | 0,29 | 0,24 | 0,24 | 0,29 | 1,07 |
Отже, D (X) = 1,07.
Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:
Завдання 6
Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень).
скласти варіаційний ряд вибірки.
побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.
обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.
Розв’язання.
Складемо варіаційний ряд.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 73 | 68 | 70 | 65 | 73 | 71 | 66 | 69 | 78 | 70 | 67 | 67 | 67 | 76 | 71 | 72 | 68 | 74 | 73 | 70 |
Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням:
,де
і 
- відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин. 
; 
; n = 4. 
.Таблиця 7
| І | ІІ | ІІІ | ІV | |||||||||||||||||||
| 65,00 - 68,25 | 68,25 - 71,50 | 71,50 - 74,75 | 74,75 - 78,00 | |||||||||||||||||||
| 65 | 66 | 67 | 67 | 67 | 68 | 68 | 69 | 70 | 70 | 70 | 71 | 71 | 72 | 73 | 73 | 73 | 74 | 76 | 78 | |||
| f=7 | 6 | 5 | 2 | |||||||||||||||||||
| S=7 | 13 | 18 | 20 | |||||||||||||||||||
Побудуємо гістограму розподілу.
Рис.1. Гістограма розподілу
Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів
Рис.2. Полігон частот
3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.
Мода Мо - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту.
Мода визначається, як:
,де хо та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;
- частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу.З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 - 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа xo=65,00, частота fmo=7, передмодальна частота fmo-1=0, післямодальна частота fmo+1=6. Маємо:
Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини:
,де fme - частота медіанного інтервалу;
Sfme-1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:
В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності.
Кумулятивна частота Sme3 = 13, Sme2-1 = 7, fme = 6, хо = 68,25, h=3,25.
Підставивши у (2.2), маємо:
Середнє арифметичне
обчислюється за формулою: 
Дисперсія обчислюється за формулою:
Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.
Ексцес Ek характеризує крутизну кривої розподілу.
,де
- центральний момент четвертого порядку.У нашому випадку:
Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил.
Результати обчислень наведені у табл.8.
Таблиця 8
| 65,00 - 68,25 | 68,25 - 71,50 | 71,50 - 74,75 | 74,75 - 78,00 | Сума | |
| x | 66.63 | 69.88 | 73.13 | 76.38 | 286.00 |
| x2 | 4 438.89 | 4 882.52 | 5 347.27 | 5 833.14 | 20 501.81 |
| f | 7 | 6 | 5 | 2 | 20.00 |
| S | 7 | 13 | 18 | 20 | 58.00 |
| dj | 0.35 | 0.30 | 0.25 | 0.10 | 1.00 |
| xjdj | 23.32 | 20.96 | 18.28 | 7.64 | 70.20 |
| xj2dj | 1 553.61 | 1 464.75 | 1 336.82 | 583.31 | 4 938.50 |
| (xcp-m) 3 | -45.69 | -0.03 | 25.03 | 235.46 | 214.76 |
| (xcp-m) 3dj | -15.99 | -0.01 | 6.26 | 23.55 | 13.80 |
| (xcp-m) 4 | 163.34 | 0.01 | 73.20 | 1 453.94 | 1 690.50 |
| (xcp-m) 4dj | 57.17 | 0.00 | 18.30 | 145.39 | 220.87 |
Завдання 7
Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки:
| xi | 2 | 5 | 9 | 11 | 12 | 15 | 18 | 19 | 21 |
| mi | 1 | 2 | 3 | 8 | 19 | 18 | 16 | 13 | 9 |
Рис.1.
Нормальний розподіл задається функцією:
Розрахуємо значення середньоквадратичного відхилення (таблиця 9.1).
.Таблиця 9.1
| xi | 2 | 5 | 9 | 11 | 12 | 15 | 18 | 19 | 21 | Всього |
| mi | 1 | 2 | 3 | 8 | 19 | 18 | 16 | 13 | 9 | 89 |
| pі | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,09 | 0,21 | 0, 20 | 0,18 | 0,15 | 0,10 | 1,00 |
| Σхірі | 0,02 | 0,11 | 0,30 | 0,99 | 2,56 | 3,03 | 3,24 | 2,78 | 2,12 | 15,16 |
| (хі - хср) | -13,16 | -10,16 | -6,16 | -4,16 | -3,16 | -0,16 | 2,84 | 3,84 | 5,84 | -24,42 |
| (хі - хср) 2 | 173,11 | 103,17 | 37,91 | 17,28 | 9,97 | 0,02 | 8,08 | 14,77 | 34,14 | 398,46 |
За методом χ2-критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал hk від теоретичного їх числа fpk, де pk -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал.
Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність:
,