Элементы аналитической геометрии (стр. 2 из 3)
Определитель матрицы равен 4.
4. Метод Гаусса.
Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Решение:
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Сформируем исходную матрицу:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 7 | 5 | -4 | -6 | 3 |
| -4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| -9 | 10 | 3 | 7 | 7 |
Разделим все элементы первой строки матрицы на 7, получим:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
| -4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| -9 | 10 | 3 | 7 | 7 |
Умножим все элементы первой строки матрицы на 4 и просуммируем с элементами второй строки, результат вычислений запишем во вторую строку:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
| 0 | 9 6/7 | -1 2/7 | - 3/7 | 6 5/7 |
| -9 | 10 | 3 | 7 | 7 |
Умножим все элементы первой строки матрицы на 9 и просуммируем с элементами третьей строки, результат вычислений запишем в третью строку:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
| 0 | 9 6/7 | -1 2/7 | - 3/7 | 6 5/7 |
| 0 | 16 3/7 | -2 1/7 | - 5/7 | 10 6/7 |
Все элементы второй строки разделим на 9 6/7:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
| 0 | 1 | - 3/23 | - 1/23 | 47/69 |
| 0 | 16 3/7 | -2 1/7 | - 5/7 | 10 6/7 |
Все элементы второй строки умножим на -16 3/7 и складываем с элементами третьей строки:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
| 0 | 1 | - 3/23 | - 1/23 | 47/69 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | - 1/3 |
Ранг матрицы системы равен: r(A) = 2; ранг расширенной матрицы (вместе со столбцом свободных членов) r(A1)=3, т. е. r(A)≠r(A1); следовательно система уравнений несовместна, т. е. не имеет решений.
5. Метод Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
Решение:
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе
последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов 
Тогда можно доказать следующий результат.
 |
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
- 331Определитель системы не равен нулю, следовательно, система уравнений имеет единственное решение.
Найдем решение системы уравнений:
6. Матричные уравнения
Решить матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку.
Решение:
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы
и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
.Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A∙X=B.Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: