Элементы аналитической геометрии (стр. 1 из 3)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ
Контрольная работа
по дисциплине: «Линейная алгебра»
Выполнил:
Воропаева Екатерина Андреевна
(Ф.И.О.)
2010-З-ФК-1
(номер группы)
Вариант № 3
Проверил
преподаватель:
Кирютенко Юрий Александрович
Ростов – на - Дону
2010
Оглавление
2. Элементы аналитической геометрии. 3
3. Вычисление определителей. 3
Решение контрольной работы
Вариант № 3
1. Комплексные числа.
1.3. а) Вычислите:
.Решение:
Используя следующие правила:
выполним вычисления
1.3. б) Решите уравнение:
,где
Решение:
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду
, получаем уравнение равносильное данному: 
. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе: 
Ответ:
.2. Элементы аналитической геометрии.
Треугольник
задан координатами вершин на плоскости. Найти уравнения сторон треугольника, медианы ВМ и высоты СН.A(1,7); В(-3,-1); С(4,-2).
Решение:
Выполним чертеж:
Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки А1(x1, y1) и
А2(x2, y2):
подставив поочередно в формулу (1) попарно координаты точек А и В, В и С, А и С.
Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и В(-3, -1):
Уравнение прямой, проходящей через точки В(-3, -1) b C(4,-2):
Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и C(4,-2):
Для определения уравнения медианы ВМ предварительно вычислим координаты точки М, воспользовавшись формулами нахождения координат середины отрезка А1А2 (А1(x1, y1) и А2(x2, y2)):
где х1, у1 – координаты точки А (1, 7);
х2, у2 – координаты точки С (4, -2).
Координаты точки М:
Точка М имеет координаты х = 2,5 и у = 2,5, т. е. М(2,5; 2,5).
Для нахождения уравнения медианы ВМ воспользуемся формулой (1), подставив в нее координаты точек В(-3, -1) и М(2,5; 2,5).
Уравнение медианы ВМ:
Для определения уравнения высоты СН воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку М1 (x1, y1) перпендикулярно к данной прямой y = ax + b:
подставив в нее координаты точки С(4,-2) и данные из уравнения прямой АВ
Получим:
Уравнение высоты СН:
3. Вычисление определителей.
Решение:
Используя алгебраические преобразования, получим в первом столбце в четвертой и пятой строке нули. Для этого от элементов четвертой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов четвертой строки матрицы. От элементов пятой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов пятой строки матрицы. Получим:
Разложим определитель матрицы по элементам первого столбца, имеем:
Такой прием называется сведением определителя более высокого порядка к определителю более низкого порядка.
Во второй строке последнего определителя все элементы строки, кроме элемента первого столбца, равны нулю. Поэтому удобно разложить определитель матрицы по элементам второй строки. В результате получим следующий результат.
В новом определителе третьего порядка во второй строке только один элемент не равен нулю, поэтому разложим этот определитель по элементам второй строки. Получим следующий результат:
