Формирование эконом-математической модели

Формирование экономико-математической модели.

Постановка задачи.

Пусть имеется пять предприятий-изготовителей и одиннадцать потребителей одинаковой продукции. Известны производственные мощности изготовителей и потребности потребителей. Суммарные мощности предприятий больше потребности потребителей.

Производственные мощности изготовителя составляют Ai. Потребность потребителя продукции равна Bj.

На выпуск единицы продукции изготовитель i расходует Ri затрат.

Известны затраты на доставку единицы продукции из пункта i в пункт j – Cij.

Издержки транспорта значительны и должны быть включены в целевую функцию.

Требуется составить такой план производства и поставок, чтобы суммарные расходы на производство и транспортировку были минимальны.

Математическая формулировка задачи.

Удовлетворение всех потребностей:

Xij = Bj

Неотрицательность грузовых потоков:

Xij >= 0

Соблюдение ограничений мощности:

Xij <= Ai

Целевая функция:

(Ri + Cij)*Xij -> min

От обычной транспортной задачи поставленная задача отличается тем, что показатель оптимальности складывается из двух составляющих. Однако, общие затраты на производство и транспортировку определяются простым суммированием.

Таким образом, поставленная задача является открытой транспортной задачей.

Исходные данные

Предприятие	А1		А2		А3		А4		А5
Производственные мощности	135		160		140		175		165
Потребители	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10
Спрос потребителей	30	45	60	50	45	65	79	87	44	30

Матрица транспортных затрат, руб.

(получена на основе данных по сети)

Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10
Отправители	Номера вершин	3	12	24	35	19	30	16	9	31	5
A1	2	41	34	45	64	41	46	31	38	41	18
A5	13	21	16	19	47	13	19	18	10	24	19

Суммированием затрат на производство и транспортных затрат в каждой клетке матрицы получаем расчетную матрицу.

Расчетная матрица стоимостных затрат.

Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10
Отправи тели	Ресурсы
A1	135	160	153	164	183	160	165	150	157	160	137
A2	160	140	115	105	114	106	100	105	129	95	129
A5	165	83	78	81	109	75	81	80	72	86	81

Так как транспортная задача открытая, то мощности превышают потребности. Часть поставщиков в оптимальном плане остается недозагруженной. Для решения задачи в матричной форме вводится фиктивный потребитель – дополнительный столбец с потребностью, равной избытку ресурсов над реальными потребностями.

Решение транспортной задачи.

Исходные данные.

Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	В10	В11
Отправи тели	Ресурсы	30	45	60	50	45	65	79	87	44	30	240
A1	135	160	153	164	183	160	165	150	157	160	137	0
A2	160	140	115	105	114	106	100	105	129	95	129	0
A5	165	83	78	81	109	75	81	80	72	86	81	0

Итого 775

Решение

Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10	B11
Отправи тели	Ресурсы	30	45	60	50	45	65	79	87	44	30	240
A1	135	160	153	164	183	160	165	150	157	160	137	0
												135
A2	160	140	115	105	114	106	100	105	129	95	129	0
								49		44		67
A3	140	116	95	88	114	82	86	97	105	91	105	0
						45	65	30
A4	175	110	110	108	109	101	106	112	99	112	121	0
					20				87		30	38
A5	165	83	78	81	109	75	81	80	72	86	81	0
		30	45	60	30

Итого 775

Для подтверждения правильности решения оптимальный план, полученный в данной таблице проверяется методом потенциалов на соблюдение условий оптимальности .

Условие оптимальности выглядит следующим образом:

Vij – Uij <= Cij

Vij – Uij = Cij , если Xij > 0

Для всех клеток матрицы разность потенциалов столбца и строки меньше или равна показателю оптимальности, для занятых клеток точно равна его значению.

Первый потенциал может быть присвоен любой строке или столбцу. В данном случае первый потенциал присвоен базисной клетке, где затраты на транспортировку максимальны (А4 – В10).

Проверка решения методом потенциалов.

Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10	B11
Отправител	Ресурсы	30	45	60	50	45	65	79	87	44	30	240
A1	135	160	153	164	183	160	165	150	157	160	137	0	150
												135
A2	160	140	115	105	114	106	100	105	129	95	129	0	150
								49		44		67
A3	140	116	95	88	114	82	86	97	105	91	105	0	158
						45	65	30
A4	175	110	110	108	109	101	106	112	99	112	121	0	150
					20				87		30	38
A5	165	83	78	81	109	75	81	80	72	86	81	0	150
		30	45	60	30
		233	228	231	259	240	244	255	249	245	271	150

Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10	B11
Отправител	Ресурсы	30	45	60	50	45	65	79	87	44	30	240
A1	135	50	48	62	74	64	65	45	51	50	35	0
												135
A2	160	30	10	3	5	10	0	0	30	0	27	0
							30	79		44		7
A3	140	20	4	0	19	0	0	6	20	10	17	20
				60		45	35
A4	175	0	5	6	0	5	6	7	0	17	19	0
					50				27			98
A5	165	0	0	0	27	0	2	2	0	18	0	27
		30	45						60		30

Далее следует сравнить Целевую функцию в решении задачи (F1) и целевую функцию, полученную при решении потенциалов (F2), если F1 > F2, то план оптимален.

Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10	B11
Отправите	Ресурсы	30	45	60	50	45	65	79	87	44	30	240
A1	135	160	153	164	183	160	165	150	157	160	137	0
												135
A2	160	140	115	105	114	106	100	105	129	95	129	0
								49		44		67
A3	140	116	95	88	114	82	86	97	105	91	105	0
						45	65	30
A4	175	110	110	108	109	101	106	112	99	112	121	0
					20				87		30	38
A5	165	83	78	81	109	75	81	80	72	86	81	0
		30	45	60	30
Цел. Ф-ия (F1)		2490	3510	4860	5450	3690	5590	8055	8613	4180	3630	0
Цел. Ф-ия (F1)		50068
Потребители		B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10	B11
Отправител	Ресурсы	30	45	60	50	45	65	79	87	44	30	240
A1	135	160	153	164	183	160	165	150	157	160	137	0
												135
A2	160	140	115	105	114	106	100	105	129	95	129	0
							30	79		44		7
A3	140	116	95	88	114	82	86	97	105	91	105	0
				60		45	35
A4	175	110	110	108	109	101	106	112	99	112	121	0
					50				27			98
A5	165	83	78	81	109	75	81	80	72	86	81	0
		30	45						60		30
Цел. Ф-ия (F2)		2490	3510	5280	5450	3690	6010	8295	6993	4180	2430	0
Цел. Ф-ия (F2)		48328

Т.к. 50068 > 48328 , то план оптимален, т.е. условие оптимальности соблюдается во всех клетках матрицы, следовательно задача решена правильно.

Вывод.

Разработанный оптимальный план обеспечивает минимальные затраты на производство и транспортировку продукции из пяти пунктов производства в десять пунктов потребления.

На основе решения транспортной задачи определены поставки каждого пункта производства в пункты потребления, производственные программы по заводам изготовителям и резервы производственных мощностей.

Резерв производственной мощности на заводе А1 составляет 135 единиц (поставки фиктивному потребителю), на заводе А2 – 7 единиц, на заводе А4 – 98 единиц, остальные предприятия резервов не имеют.

Минимальные затраты на транспортировку и производство составили 48328 рублей. Затраты на производство продукции в составе суммарных затрат определяются умножением затрат на производство единицы продукции на производственную программу и составят:

119*0+93*153+81*140+70*77+62*165= 14229+11340+5390+10230=41189 рублей или 85,2%.

Затраты на транспортировку составляют 7139 рублей или 14,8%. Такую долю транспортных затрат для готовой продукции следует считать довольно высокой, хотя по отдельным видам дешевых массовых грузов эта доля может быть значительно выше.

Межотраслевой баланс производства и распределения
	продукции в народном хозяйстве за 1989 год млн.руб.)

		Промыш-	Электро-	Сельское	Прочие виды	Всего пот-	Конечный	Всего рас-
Отрасли		ленность	энэргетика	хозяйство	деятельности	реблено	продукт	пределено
		2 3 4 5	1 8	7 10	6 9 11 12
	2
Промыш-	3	252191,1	21954,7	45395,5	57176,5	376718,0	231120,7	607838,7
ленность	4
	5
Электро-	1	18907,2	56932,4	9573,1	8649,8	94062,5	169808,9	263871,4
энергетика	8
Сельское	7	16942,2	143080,6	141310,1	5660,2	306993,1	141847,3	448840,4
хоз-во	10
Прочие	6
виды	9	63792,8	29752,1	24192,9	90138,8	207876,6	208720,2	416596,8
деят-ти	11
	12
Все матер.затраты	351833,7	251719,8	220471,6	161625,3	985650,2	751497,1	1737147
	Вся чист.прод-ия	256005,7	12151,6	228368,8	254971,5	751497,6
Вся продукция		607838,4	263871,4	448840,4	416597,1	1737147

Межотраслевой баланс составлен в денежном выражении и состоит из разделов.

В первом разделе отражаются межотраслевые потоки продукции в процессе текущего производственного потребления. Этот раздел имеет одинаковую классификацию, что обеспечивает его шахматную структуру. Второй раздел содержит конечный продукт. В третьем разделе показывается вновь созданная стоимость.

На основе данных отчетного межотраслевого баланса рассчитываются коэффициенты затрат делением величины межотраслевых поставок на валовую продукцию отрасли.

Расчет коэффициентов прямых затрат
			Промыш-	Электро-	Сельское	Прочие виды
	Отрасли		ленность	энэргетика	хозяйство	деятельности
			2 3 4 5	1 8	7 10	6 9 11 12
	2
Промыш-	3	0,4149	0,0832	0,1011	0,1372
ленность	4
	5
Электро-	1	0,0311	0,2158	0,0213	0,0208
энергетика	8
Сельское	7	0,0279	0,5422	0,3148	0,0136
хоз-во	10
Прочие	6
виды	9	0,1050	0,1128	0,0539	0,2164
деят-ти	11

Конечный	продукт
	Конечный	Рост кон.	Конечный продукт
продукт	продукции	с учетом прироста
231120,7	24%	55468,968
263871,4	26%	68606,564
448840,4	28%	125675,312
416596,8	25%	104149,2

Определенные коэффициенты прямых затрат используются как параметры для составления системы линейных уравнений. Неизвестными считаются размеры валовой продукции по отраслям:

Х1 - промышленность

Х2 - электроэнергетика

Х3 – сельское хозяйство

Х4 – прочие виды деятельности

Система линейных уравнений

Х1 = 0,4149*Х1+0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55468,968

Х2 = 0,0311*Х1+0,2158*Х2+0,0213*Х3+0,0208*Х4+68606,564

Х3 = 0,0279*Х1+0,5422*Х2+0,3148*Х3+0,0136*Х4+125675,312

Х4 = 0,1050*Х1+0,1128*Х2+0,0539*Х3+0,2164*Х4+104149,2

Система линейных уравнений решается методом подстановок.

РЕШЕНИЕ:

Х1 - 0,4149*Х1 - 0,0832*Х2 - 0,1011*Х3 - 0,1372*Х4 = 55468,968

Х2 - 0,0311*Х1 - 0,2158*Х2 - 0,0213*Х3 - 0,0208*Х4 = 68606,564

Х3 - 0,0279*Х1 - 0,5422*Х2 - 0,3148*Х3 - 0,0136*Х4 = 125675,312

Х4 - 0,1050*Х1 - 0,1128*Х2 - 0,0539*Х3 - 0,2164*Х4 = 104149,2

1) 0,5851*Х1 - 0,0832*Х2 - 0,1011*Х3 - 0,1372*Х4 = 55468,968

- 0,0311*Х1 + 0,7842*Х2 - 0,0213*Х3 - 0,0208*Х4 = 68606,564

- 0,0279*Х1 - 0,5422*Х2 + 0,6852*Х3 - 0,0136*Х4 = 125675,312

- 0,1050*Х1 - 0,1128*Х2 - 0,0539*Х3 + 0,7836*Х4 = 104149,2

0,0832*Х2 + 0,1011*Х3 + 0,1372*Х4 + 55468,968

Х1=

0,5851

-0,05316*(0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55468,968)+0,7842*Х2-0,0213*Х3-0,0208*Х4 = 68606,564

-0,004423*Х2 - 0,005377*Х3 - 0,007296*Х4 - 2948,885 + 0,7842*Х2 - 0,0213*Х3-0,0208*Х4 = 68606,564

0,7798*Х2 - 0,0267*Х3 - 0,0281*Х4 = 71555,45

-0,04763*(0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55468,968)-0,5422*Х2+0,6852*Х3-0,0136*Х4 = 125675,312

-0,003964*Х2 -0,004818*Х3 - 0,006538*Х4 - 2642,411 - 0,5422*Х2 + 0,6852*Х3-0,0136*Х4 = 125675,312

-0,5462*Х2 + 0,6803*Х3 - 0,0201*Х4 = 128317,723

-0,17937*(0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55468,968)-0,1128*Х2-0,0539*Х3+0,7836*Х4 = 104149,2

-0,014924*Х2 - 0,018141*Х3 - 0,024618*Х4 - 9949,522 - 0,1128*Х2 - 0,0539*Х3+ 0,7836*Х4 = 104149,2

-0,1277*Х2 - 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114098,7

2) 0,7798*Х2 - 0,0267*Х3 - 0,0281*Х4 = 71555,45

-0,5462*Х2 + 0,6803*Х3 - 0,0201*Х4 = 128317,723

-0,1277*Х2 - 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114098,7

0,0267*Х3 + 0,0281*Х4 + 71555,45

Х2=

0,7798

-0,700436*(0,0267*Х3 + 0,0281*Х4 + 71555,45) + 0,6803*Х3 - 0,0201*Х4 = 128317,723

-0,018702*Х3 – 0,019682*Х4- 50120,01+ 0,6803*Х3 - 0,0201*Х4 = 128317,723

0,6616*Х3 – 0,0398*Х4 = 178437,7368

-0,16376*(0,0267*Х3 + 0,0281*Х4 + 71555,45) - 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114098,7

-0,004372*Х3 – 0,004602*Х4 – 11717,92 - 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114098,7

-0,0764*Х3 + 0,7544*Х4 = 125816,6161

3) 0,6616*Х3 – 0,0398*Х4 = 178437,7368

-0,0764*Х3 + 0,7544*Х4 = 125816,6161

0,0398*Х4 + 178437,7368

Х3=

0,6616

-0,115478*(0,0398*Х4 + 178437,7368) + 0,7544*Х4 = 125816,6161

-0,004596*Х4-20605,57 + 0,7544*Х4 = 125816,6161

0,7498*Х4 = 146422,1830

Х4 = 195280,6132

0,0398*195280,6132 + 178437,7368

Х3=

0,6616

Х3 = 281453,9075

0,0267*281453,9075 + 0,0281*195280,6132 + 71555,45

Х2=

0,7798

Х2 = 108435,0533

0,0832*108435,0533 + 0,1011*281453,9075 + 0,1372*195280,6132 + 55468,968

Х1=

0,5851

Х1 = 204645,795

Результаты расчетов:

Х1 = 204645,7949 - промышленность

Х2 = 108435,0533 - электроэнергетика

Х3 = 281453,9075 – сельское хозяйство

Х4 = 195280,6132 – прочие виды деят-ти

Проверка:

Х1 = 0,4149*Х1+0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55468,968

Х2 = 0,0311*Х1+0,2158*Х2+0,0213*Х3+0,0208*Х4+68606,564

Х3 = 0,0279*Х1+0,5422*Х2+0,3148*Х3+0,0136*Х4+125675,312

Х4 = 0,1050*Х1+0,1128*Х2+0,0539*Х3+0,2164*Х4+104149,2

Х1 = 84907,1860 + 9022,0428 + 28466,1114 + 26801,5835 + 55468,968

204645,7949=204645,7949

Х2 = 6365,6375 + 23395,7444 + 6002,9943 + 4054,6087 + 68606,564

108435,0533= 108435,0533

Х3 = 5704,0654 + 58797,4008 + 88611,1852 + 2653,2285 + 125675,312

281453,9075 = 281453,9075

Х4 = 1477,6300 + 12226,2986 +15170,6179 + 42252,71884 + 104149,2

195280,6132 = 195280,6132

По результатам решения составляется плановый межотраслевой баланс, в который сначала заносятся сведения о валовой продукции отраслей по строке “Валовая продукция” и сведения о конечном продукте в отраслях. Межотраслевые связи рассчитываются умножением величины валового продукта по отрасли на коэффициенты прямых затрат. Например, чтобы рассчитать размер промежуточного продукта промышленности для сельского хозяйства нужно валовую продукцию промышленности по плану умножить на соответствующий коэффициент прямых затрат. Чистая продукция определяется как разница валовой продукции и суммы промежуточных затрат.

Плановый межотраслевой баланс
			Промыш-	Электро-	Сельское	Прочие виды	Всего пот-	Конечный					Валовая
	Отрасли		ленность	энэргетик	хозяйство	деятельности	реблено	продукт					продукция
		2 3 4 5	1 8	7 10	6 9 11 12
	2
Промыш-	3	84907,2	9022,0428	28466,1115	26801,6	149196,9	55468,97					204645,79
ленность	4
	5
Электро-	1	6365,6	23395,7	6003,0	4054,6	39819,0	68606,56					108435,05
энергетика	8
Сельское	7	5704,1	58797,4	88611,2	2653,2	155765,9	125675,3					281453,91
хоз-во	10
Прочие	6
виды	9	21477,6	12226,3	15170,6	42252,7	91127,3	104149,2					195280,61
деят-ти	11
	12
Все матер.затраты	118454,5	103441,5	138250,9	75762,1	435909,1	353900					789815,4
	Чистый доход	86191,3	4993,6	143203,0	119518,5	353906,3
Валовая продукция		204645,79	108435,053	281453,908	195280,61	789815,4						Итого

Далее необходимо рассчитать коэффициенты полных затрат, для этого преобразуем формулу Х = аij*Xj + Yi следующим образом:

X – aij*Xj = Yi, полагая, что Xj = E*Xj

E*Xj – aij*Xj = Yi

X*(E – a) = Yi

X = (E – a) * Yi

Выражение (E – a) представляет из себя обратную матрицу.

1-а11 0-а12 … 0-а1n

E – a = … … … …

0-am1 0-am2 … 1-amn

	0,5851	-0,0832	-0,1011	-0,1372
Е - а =	-0,0311	0,7842	-0,0213	-0,0208
	-0,0279	-0,5422	0,6852	-0,0136
	-0,1050	-0,1128	-0,0539	0,7836

Решение системы связано с матрицей (Е – а), обозначим (Е – а) =А

А11 А12 … А1n

А = … … … …

Аm1 Аm2 … Аmn

Величины А – есть коэффициенты полных затрат.

1,81	0,452175	0,307179	0,3339
0,08	1,331012	0,057618	0,0507
0,14	1,078218	1,520649	0,0802
0,26	0,326235	0,154026	1,3336

X = A*Y

	1,8076696	0,452174849	0,307179212	0,33390524		55468,97		204672,54
Х =	0,0826051	1,331012318	0,057617708	0,05073294	*	68606,56	=	108423,12
	0,144143	1,078218311	1,520648538	0,08017912		125675,3		281426,89
	0,2638982	0,326234601	0,154025841	1,33364524		104149,2		195275,33

Х1(А) =	204672,5352
Х2(А) =	108423,1202
Х3(А) =	281426,8885
Х4(А) =	195275,3261

Коэффициенты полных материальных затрат показывают сколько всего нужно произвести продукции i-той отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-той отрасли.

Плановый межотраслевой баланс
с учетом полных затрат
		Промыш-	Электро-	Сельское	Прочие виды	Всего пот-	Конечный	Валовая
Отрасли	ленность	энэргетика	хозяйство	деятельности	реблено	продукт	продукция
			2 3 4 5	1 8	7 10	6 9 11 12
	2
Промыш	3	84918,3	9021,04994	28463,379	26800,9	149203,6	55468,97	204672,54
ленность	4
	5
Электро-	1	6366,5	23393,2	6002,4	4054,5	39816,6	68606,56	108423,12
энергетика	8
Сельское	7	5704,8	58790,9	88602,7	2653,2	155751,6	125675,3	281426,89
хоз-во	10
Прочие	6
виды	9	21480,4	12225,0	15169,2	42251,6	91126,1	104149,2	195275,33
деят-ти	11
	12
Все матер.затраты	118470,0	103430,1	138237,6	75760,1	435897,8	353900	789797,9
	Чистый доход	86202,5	4993,0	143189,3	119515,2	353900,0
Валовая продукция		204672,54	108423,12	281426,89	195275,33	789797,9		Итого

Разработанный межотраслевой баланс определяет совокупный валовый продукт на плановый период, показывает межотраслевые связи и объемы промежуточного продукта, производимого каждой отраслью. По сравнению с отчетным балансом плановый баланс обеспечивает минимальный прирост валовой продукции, кроме отрасли промышленности, где прирост составляет 1%. Все данные показаны в таблице:

коэффициент		коэффициент		РАЗНИЦА
прямых затрат		полных затрат
Х1 (а)	204645,795	Х1 (А)	204672,535	-26,740
Х2 (а)	108435,053	Х2 (А)	108423,12	11,933
Х3 (а)	281453,908	Х3 (А)	281426,889	27,019
Х4 (а)	195280,61	Х4 (А)	195275,326	5,287

Т.е. прирост конечной продукции в сельскохозяйственной деятельности на 0,63%, обеспечивается приростом валовой продукции, прирост сельскохозяйственной деятельности обеспечивается на 0,41%. Для увеличения конечного продукта в сфере промышленности необходимо увеличить прирост валового продукта на 0,34% , а прирост конечного продукта в прочих отраслях на 0,49% обеспечивается приростом валового продукта этих отраслей.