Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать жизненные задачи: выбор наилучшего из возможных вариантов, оценка степени риска, шансов на успех и др. Кроме того, он рассчитан на развитие самостоятельности, умения работать в команде, умения работать с информацией, представленной в виде таблиц, графиков, диаграмм, производить интерпретацию результатов, полученных при исследованиях и опросах общественного мнения.
Одной из важных целей изучения вероятностно-статистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т. п. Представление о вероятности, которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения, отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.
Изучение вероятностно-статистического материала должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умение ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.
Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года предусматривает обновление структуры и содержания образования. Проектом обязательного минимума содержания математического образования среднего (полного) общего образования предоставляется возможность учащимся усвоить основные формулы комбинаторики, развить представления о классической модели вероятностей и её применениях, получить представления о случайных величинах и их характеристиках, о законах распределения случайных величин.
Основной целью элективного курса является формирование у учащихся первоначальных вероятностно-статистических представлений,ознакомление с миром случайного, ознакомление с основными понятиями и методами комбинаторики и теории вероятностей и математической статистики, с помощью которых можно анализировать и решать задачи.
Задачи курса:
· получение знаний о комбинаторике и основных элементах теории вероятностей;
· рассмотреть решение комбинаторных задач;
· развитие представлений учащихся о случайных величинах и их характеристиках;
· развивать умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы;
· овладение умениями решать задачи, связанные с конкретной жизненной ситуацией;
· расширение общекультурного кругозора и развитие логического мышления учащихся через межпредметные связи;
· формирование умение определять связь теории вероятностей с практическими потребностями;
· оказание учащимся педагогической поддержки в выборе дальнейшего продолжения образования после окончания средней школы.
Ожидаемые результаты
После изучения курса учащиеся должны знать:
- Знать основные понятия комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
После изучения курса учащиеся должны уметь:
- Уметь вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами.
- Уметь представить событие в виде комбинации нескольких элементарных событий.
- Видеть в конкретных научных, технических, житейских проблемах вопросы, задачи, допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие задачи.
- Различать дискретные и непрерывные случайные величины.
- Уметь находить числовые характеристики случайных величин.
- Уметь решать простейшие задачи математической статистики.
- Уметь интерпретировать полученные результаты.
Содержание элективного курса:
1. Элементы комбинаторики. (8 часа)
2. Случайные события .(10 часа)
3. Случайные величины. (10 часа)
4. Практикум по решению задач . (3 часа)
5. Контрольная работа. (1 час)
В данном курсе в простой и ясной форме изложены наиболее основные понятия комбинаторики и теории вероятностей, а так же статистики. Модульная структура курса позволяет изучать теоретический материал в зависимости от возрастных отличий школьников, их индивидуальных способностей и количества учебных часов. Данная разработка элективного курса может быть полезно учителям математики, а также полученные знания могут быть полезными в физике и применяться в информационных технологиях.
2.2.2. Содержание программы элективного курса
Элективный курс “Основы комбинаторики и теории вероятностей” рассчитан на 32 часов: 25 часов – теоретических занятий, 3 часа – контроль знаний в виде теста, 3 часа – практикум по решению задач и 1 час – контрольная работа. Курсу отводится 1 час в неделю для изучения в двух полугодиях 10-го или 11-го класса.
Раздел 1. Элементы комбинаторики (8 ч).
Некоторые сведения из комбинаторики. Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения. Основные комбинаторные схемы: перестановки, размещения, сочетания. Упражнения по комбинаторике. Бином Ньютона и треугольник Паскаля.
Цель:ознакомление с основными понятиями комбинаторики, с помощью которых можно анализировать и решать задачи.
Раздел 2. Случайные события (10 ч).
Понятие вероятности.Классическое определение вероятности события. Статистическое понятие вероятности события. Геометрическое понятие вероятности.
Знать смысл, различать понятия вероятности.
Операции над вероятностями. Произведение и сумма событий. Теоремы умножения и сложения вероятностей, формула полной вероятности. Формула Байеса.
Знать смысл, различать и осознанно использовать следующие общие понятия: свойства вероятности, основные теоремы теории вероятностей (сложение и умножение вероятностей), формулу полной вероятности и формулу Байеса.
Уметь:решать задачи на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Раздел 3.Случайные величины. (10 ч).
Случайные величины.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры.
Цель: различать и осознанно использовать понятия - дискретные и случайные величины.
Числовые характеристики. Математическое ожидание, дисперсия случайной величины. Другие числовые характеристики (мода, медиана) и их смысл. Упражнения. Выполнение расчётных заданий.
Знать смысл, различать и осознанно использовать следующие общие понятия:числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин и их свойства.
Уметь:вычислять характеристики дискретной случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение), характеристики непрерывной случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, среднеквадратическое отклонение).
Раздел 4. Практикум по решению задач (3 ч).
Раздел 5. Контроль знаний (1 ч).
2.2.3. Поурочное планирование
Поурочное планирование на одно полугодие для 10 – 11 класса физико-математического профиля (32 часа).
| № | Тема урока | Кол-во часов |
| 1. Элементы комбинаторики(8 часов). | ||
| 1.1. | Логика перебора. | 1 |
| 1.2. | Правила суммы и умножения. | 1 |
| 1.3. | Перестановки, размещения, сочетания. | 1 |
| 1.4. | Размещения и сочетания и перестановки с повторениями | 1 |
| 1.5. | Свойства сочетаний. Применение формул комбинаторики для упрощения выражений. | 1 |
| 1.6. | Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. | 2 |
| 1.7. | Проверка знаний (тестирование). | 1 |
| 2. Случайные события(10 часов). | ||
| 2.1. | Алгебра событий. Элементарные события. Сложные события. | 1 |
| 2.2. | Частота случайного события. Определение вероятности. | 2 |
| 2.3. | Вероятностная шкала. | 1 |
| 2.4. | Вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики. | 1 |
| 2.5. | Свойства вероятности и их применение к решению задач. | 1 |
| 2.6. | Условная вероятность. Формула Байеса. | 1 |
| 2.7. | Геометрические вероятности. | 1 |
| 2.8. | Независимые, однородные испытания. Схема Бернулли. | 1 |
| 2.9. | Проверка знаний (тестирование). | 1 |
| 3. Случайные величины(10 часов). | ||
| 3.1. | Основные понятия. | 1 |
| 3.2. | Числовые характеристики случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсии. | 2 |
| 3.3. | Таблицы частот. | 1 |
| 3.4. | Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. | 2 |
| 3.5. | Простейшие распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение на [a; b], показательное, нормальное распределения и их применение. | 2 |
| 3.6. | Расчётно-графические задания. | 1 |
| 3.7. | Проверка знаний (тестирование). | 1 |
| 4. Практикум по решению задач(3 часа). | ||
| 5. Контрольная работа(1 час). | ||
2.3. Разработки занятий
В данном параграфе представлены разработки занятий элективного курса «Основы комбинаторики и теории вероятностей» к разделу «Элементы комбинаторики». Разделу «Элементы комбинаторики» отводится 8 часов, из них один час – это проверка знаний в виде тестирования. Ниже представлены подробные конспекты данных уроков.