Изучение основ комбинаторики и теории вероятностей (стр. 11 из 17)
Урок № 1. Логика перебора.
Цели: познакомиться с некоторыми простейшими комбинаторными задачами,научиться решать их методом полного перебора вариантов, а также научить строить дерево возможных вариантов, развить умение решать задачи путём только логических рассуждений.
Тип урока: комбинированный
Ход урока
1. Организационный момент и постановка цели урока (3 мин).
Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно не потому что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется чтобы этот выбор был оптимальный.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
А представьте на миг, чтобы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям. Даже в одном классе и то вряд ли легко решили бы проблему. Для того чтобы решить эту проблему наиболее удобным способом и изучается комбинаторика.
2. Выполнение задания (35 мин).
Давайте рассмотрим такую задачу:
Задача 1.Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколькими способами можно распределить билеты на футбол?
Решение: Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.
а) Антон и Борис; б) Антон и Виктор; в) Борис и Виктор.
Теперь давайте добавим условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе.
Задача 2. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.
Решение: Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами.
а) Антон и Борис;
1-ое место – Антон, 2-ое место – Борис или 1-ое место – Борис, 2-ое место – Антон.
б) Антон и Виктор;
1-ое место – Антон, 2-ое место – Виктор или 1-ое место – Виктор, 2-ое место – Антон.
в) Борис и Виктор.
1-ое место – Борис, 2-ое место – Виктор или 1-ое место – Виктор, 2-ое место – Борис.
Таким образом, мы получаем 6 вариантов.
Задача 3. Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?
Решение: В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор.
а) 1-ое место – Антон, тогда
2-ое место – Борис, 3-ье место – Виктор или 2-ое место – Виктор, 3-ье место – Борис.
б) 1-ое место – Борис, тогда
2-ое место – Антон, 3-ье место – Виктор или 2-ое место – Виктор, 3-ье место – Антон.
в) 2-ое место – Виктор, тогда
2-ое место – Антон, 3-ье место – Борис или 2-ое место – Борис, 3-ье место – Антон.
В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.
В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.
Задача 4. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3.
Решение: Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа как попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться.
В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание).
Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать.
Рассмотрим задачу:
Задача 5. В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?
Решение: В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.
Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной задачи: сначала нужно выбрать первую букву – это могут быть буквы «а» или
«у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.
Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»:
ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.
Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы.
Задача 6. В 5«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
Решение: В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз (для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета мы можем упорядочить 6-ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета.
3. Домашнее задание (5 мин).
1. В 5А классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, обществознание и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика – последний урок?
2.Используя весь русский алфавит, составьте как можно больше двухбуквенных слов, используемых в русском языке. При условии, что при перестановке букв тоже получится слово русского языка. (В одном слове буквы не повторяются).
3. Решите задачу 2 при условии того, что в одном слове буквы могут повторяться.
4. Подведение итогов урока (2 мин).
Наступило время подвести итоги нашего урока. Сегодня мы с вами решали задачи, ответы на которые получаются обычным перебором. Дальше же мы рассмотрим, как такие же задачи можно решать с помощью основных правил и формул комбинаторики. Всем спасибо за работу. До свидания.
Урок № 2. Правила сложения и умножения.
Цели:отработать умения и навыки в составлении и подсчете числа комбинаторных наборов, показать учащимся как можно решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений, а также познакомить учащихся с правилом умножения при подсчете числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению и познакомить с правилом суммы.
Тип урока: комбинированный
Ход урока
1. Организационный момент и постановка цели урока(1 мин).
На сегодняшнем уроке мы с вами посмотрим, как решать такие задачи, которые мы рассматривали на первом уроке, более простым методом.
2. Повторение ранее изученного материала (11 мин).
Рассмотрим следующую задачу:
Задача 1. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг.
Решение: Мы можем записывать наше решение следующим образом : «1 вариант: первая полоса – красная, вторая – синяя, третья – белая.» и т.д. Но это очень долго и не удобно, записывая так, сложно сориентироваться все ли варианты мы записали, и не повторились ли мы где-нибудь. Поэтому очень удобно ввести кодирование, т.е. некоторое условное обозначение перебираемых в задаче объектов. В нашем случае мы заменим первой буквой каждый цвет полосы. Белый соответственно – «Б», красный – «К» и синий – «С».
Введя кодирование, запись решения задачи очень упрощается. Мы имеем множество из трех элементов {Б, К, С}. Нужно составить различные комбинации из трех элементов, при этом порядок элементов учитывается. Например, запись «БКС» будет обозначать, что первая полоса флага – белая, вторая – красная, третья – синяя. Подобные задачи мы уже решали методом непосредственного перебора и построением дерева возможных вариантов.