Изучение основ комбинаторики и теории вероятностей (стр. 13 из 17)

Решение:

= = 9 · 10 = 90

Перестановки.

Определение. Пусть дано множество N из n объектов. Всевозможные последовательности из всех n объектов называются перестановками.

Задача 1. Сколькими способами можно рассадить n человек на n мест?

Решение:

1 способ . Перебор вариантов.

1) n = 1. Число возможных вариантов 1.

2) n = 2. Возможные варианты: 12 и 21 , всего их 2.

3) n = 3. Возможные варианты: 123 213 312 132 231 321, всего их 6.

4) n = 4 Возможные варианты: 1234 2134 3124 4123

1324 2314 3214 4213

1432 2431 3421 4321

1243 2341 3142 4132

1342 2143 3241 4231

1423 2431 3412 4312. Всего их 24.

С увеличением числа n этот способ становится очень трудоемким. Можно заметить, что перестановки являются частным случаем размещений из n элементов по n , значит

= n! т.к. = = = = n!.

2 способ. Применение формулы перестановок.

= 2!=1·2=2; =3!=1·2·3=6 ; =4!=1·2·3·4=24;

3 способ. Применение правила произведения. (для n = 4)

1. на 1 место человека можно посадить четырьмя способами : 1, 2, 3, 4

2. на 2 место только тремя способами : пример 12 13 14

3. на 3 место только двумя способами : пример 123 124

4. на 4 место только одним способом : пример 1234

всего вариантов: 4·3·2·1=24

Задача 2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных предметов ?

Решение:

= 6!=1·2·3·4·5·6=720

Задача 3. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова математика?

Решение: В слове математика 10 букв, значит перестановок будет

=10! Однако буква а повторяется 3 раза , буква т – 2 раза , буква м – 2 раза и их перестановки не дают новых вариантов, значит

= = =151200

Задача 4. Для дежурства по классу в течение недели ( кроме воскресения) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

Решение: P=6!=720.

Задача 5. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти , можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6, при условии , что цифры в числе не повторяются?

Решение: Последняя цифра должна быть 5, предыдущие цифры могут быть составлены из оставшихся пяти цифр 1,2,3,4,6.

Р=5!=120 .

Сочетания.

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов , называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Задача 1. Сколько наборов из двух книг можно скомпоновать из четырех книг ?

Решение:

1 способ. Перебор вариантов.

Возможны следующие наборы ( указываются номера книг)

1 2 1 3 1 4

2 3 2 4 3 4

всего 6 наборов.

Формула числа сочетаний.

Число сочетаний можно получить через число размещений , если учесть, что при вычислении числа сочетаний не считаются разными варианты, составленные из перестановок элементов внутри каждого размещения, которых имеется k! , т.е.

= ,

Замечание:

= – формула, связывающая сочетания с размещениями.

2 способ. Применение формулы для вычисления числа сочетаний.

= = = 6 .

Задача 2. Сколькими способами можно составить из 14 преподавателей экзаменационную комиссию из 7 членов?

Решение:

.

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Решение:

.

Задача 4. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет , состоящий из двух красных и одной белой розы?

Решение: (по правилу произведения)

· = =10 · = 100.

Задача 5. В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой два раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Решение: в первом круге

=153, во втором круге =153.

Всего 153 ·2 =306 встреч.

Задачи на применение формул комбинаторики.

Задача 1. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить для дежурства двух человек, если: а) один из них должен быть старшим; б) старшего быть не должно?

Решение: а)

= =29 · 30 =870; б) = =435.

Задача 2. В хирургическом отделении работают 40 врачей. Сколькими способами из них можно образовать бригаду в составе: а) хирурга и ассистента; б) хирурга и четырех его ассистентов?

Решение: а) 1 способ.

=

= 40 · 39 = 1560 ;

2 способ. 40 ·

=40 · = 40 · 39 = 1560 ;

б) 40 ·

= 40 · = = 3290040 .

3. Домашнее задание (3 мин).

1. Из коллектива работников в 25 человек нужно выбрать председателя, заместителя, бухгалтера и казначея. Каким количеством способов это можно сделать?

2.Сколько различных слов (пусть и не имеющих смысла) можно получить путем перестановки букв в слове "ДУБЛЕНКА"?

3. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

4. Подведение итогов урока (2 мин).

Наступило время подвести итоги нашего урока. Сегодня мы с вами познакомились с основными понятиями и формулами комбинаторики, решали задачи, с помощью ранее изученных правил сложения и умножения, новых формул, на следующем занятие мы продолжим знакомство с основами комбинаторики, а именно, с размещениями и сочетаниями с повторениями, а также, используя полученные знания, выполним задания на упрощение выражений и решение уравнений. Выполните домашнее задание, так как следующий урок будет основываться на знании материала сегодняшнего урока.

Всем спасибо за работу. До свидания.

Урок № 4. Размещения, сочетания и перестановки с повторениями

Цели: познакомиться с размещениями, перестановки и сочетаниями с повторениями, научиться применять новые формулы для решения задач.

Тип урока: комбинированный

Ход урока

1. Организационный момент и постановка цели урока (5 мин).

На сегодняшнем уроке мы продолжим тему прошлого урока, познакомимся с размещения и сочетания с повторениями, а на следующем уроке научимся преобразовывать выражения, содержащих число перестановок, число сочетаний, число размещений, проведем самостоятельную работу на то, чтобы выявить, как хорошо вы усвоили материал сегодняшнего и прошлых уроков. Для начала мы проверим домашнее задание.

2. Выполнение задания (10 мин).

Размещения с повторениями.

Пусть даны элементы а₁ ,а₂ , . . . ,а_n (а)