Изучение основ комбинаторики и теории вероятностей (стр. 14 из 17)

Определение. Размещением с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая упорядоченная последовательность из k элементов, членами которой являются данные элементы. В размещении с повторениями один и тот же элемент может находиться на нескольких различных местах.

Формула для числа размещений с повторениями.

Каждый элемент может быть выбран n способами, поэтому :

,где

-обозначение размещений с повторениями .

Пример: размещения с повторениями из 4 элементов 1 , 2 , 3 и 4 по 3:

111; 112; 121; 211; и т.д.

= 4

= 64.

Перестановки с повторением.

Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с повторениями.

Пусть имеется п₁предметов 1-го типа, n₂ предмета 2-го, п_кпредметов

-го типа и при этом п₁+ п₂+...+ п_к = п. Количество разных перестановок предметов

(5)

Пример. Найдем количество перестановок букв слова КОМБИНАТОРИКА. В этом слове 2 буквы «к», 2 буквы «о», 1 буква «м», 1 буква «б», 2 буквы «и», 1 буква «н», 2 буквы «а», 1 буква «т» и 1 буква «р».

Таким образом, число перестановок букв этого слова равно: Р(2, 2,1, 1, 2, 1, 2, 1, 1) = 13!/(2! 2! 2! 2!)= 13!/16.

Сочетания с повторениями.

Определение. Сочетаниями из m элементов по n элементов с повторениями называются соединения, содержащие n элементов, причем среди них могут быть одинаковые, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком.

Пример: сочетания с повторениями из четырех элементов 1,2,3,4, по два

11 12 13 22 32 14 24 33 34 44

( всего их 10)

- формула сочетаний с повторениями.

= 10.

3. Первичное закрепление(20 мин).

Задачи на применение формул комбинаторики.

Задача 1. Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4?

Решение:

= 16 .

Задача 2. Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3, при условии, что все цифры различны?

Решение:

= 12 .

Задача 3. Автомобильные номера состоят из тех букв (всего 30 букв) и четырех цифр (используется 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким способом, чтобы никакие два автомобили не имели одинаковые номера?

Решение: Это размещение с повторениями. Применим правило произведения:

= =

Задача 4. Пятеро студентов сдают экзамен. Каким количеством способов могут быть выставлены оценки, если известно, что никто из студентов не получил неудовлетворительной оценки?

Решение:C:\www\doc2html\work\bestreferat-249029-13972164196688\сайт\web\3.14.html

C:\www\doc2html\work\bestreferat-249029-13972164196688\сайт\web\3.3.html Задача 5. У школьника 2 авторучки, 4 карандаша и 1 резинка. Он раскладывает эти предметы на парте в ряд. Сколько вариантов раскладки?

Решение:C:\www\doc2html\work\bestreferat-249029-13972164196688\сайт\web\3.14.html Р(2,4,1)=7!/(2!4!1!)=5*6*7/2=105.

Задача 6. Рыбаки поймали 5 подлещиков, 4 красноперки и 2 уклейки, посолили и вывесили на солнце сушиться. Сколько вариантов развешивания рыбы на нитке?

Решение:C:\www\doc2html\work\bestreferat-249029-13972164196688\сайт\web\3.14.html Р(5,4,2)=11!/(2!4!5!)=11*10*9*8*7*6/(2*2*3*4)=11*10*9*7=6930.

C:\www\doc2html\work\bestreferat-249029-13972164196688\сайт\web\3.4.htmlЗадача 7. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

Решение:

=120.

4. Проверка знаний (5 мин).

Сегодня вы узнали, что такое размещения и сочетания с повторениями, попробовали применить новые формулы для решения задач.

Сейчас вы получите карточки, на которых будут начала формул. Ваша задача в течение трех минут, дописать формулы, написать, как они называются и как интерпретируются.

I вариант II вариант

5. Домашнее задание(3 мин).

Дома повторите то, что мы проходили на прошлом уроке, а также решите задачи:

1. На почте имеется 5 типов марок одинакового достоинства. На
конверт нужно наклеить 3 марки. Сколько существует различных комбинаций наклейки марок на конверт, если порядок наклейки марок имеет значение?

2.Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

3.Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красные, зеленые и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

6. Подведение итогов урока (2 мин).

На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились еще с такими понятиями, как, размещения и сочетания с повторениями и учились применять их на практике, решая задачи. На следующем уроке, как уже говорилось в начале урока, мы проведем самостоятельную работу на то, чтобы выявить, как хорошо вы усвоили материал сегодняшнего и прошлого уроков. Всем спасибо за работу. До свидания.

Урок № 5. Свойства сочетаний и их применение для упрощения выражений.

Цели: познакомиться со свойствами сочетаний,закрепить пройденный ранее материал, научиться решать неравенства, а также проверить оценку (контроль) знаний.

Тип урока: комбинированный

Ход урока

1. Организационный момент и постановка цели урока (1 мин).

На сегодняшнем уроке мы продолжим тему, познакомимся со свойствами сочетаний, будем применять полученные знания для упрощения выражений и решения неравенств, которые содержат известные уже нам, формулы комбинаторики. А также на сегодняшнем уроке проведем самостоятельную работу.

2. Повторение ранее изученного материала (3 мин).

Перед тем, как приступить, повторим, что мы прошли на предыдущих уроках. На проекторе будут представлены задания. Первые пять учеников, решившие правильно, получат оценки в журнал.

Задачи.

1.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

2. На почте имеется 5 типов марок одинакового достоинства. На конверт нужно наклеить 3 марки. Сколько существует различных комбинаций наклейки марок на конверт, если порядок наклейки марок имеет значение?

3. Выполнение задания (20 мин).

Свойства сочетаний.

Приведем некоторые свойства чисел сочетаний, которые часто используются при преобразованиях формул комбинаторики.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Преобразование выражений, содержащих число перестановок, число сочетаний, число размещений.

Задача 1. Упростить выражение:

Решение:

= =

= 1.

Задача 2. Вычислить:

а)

б)

Решение: а)

= 1 .