Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова (стр. 2 из 2)
Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню
відповідає власний вектор 
, де x1=x2, тобто, наприклад 
власний вектор. Знайдемо власний вектор 
, що відповідає власному значенню 
.За визначенням
Звідки
Згадуючи, що
отримуємо 
Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння:
або 
звідки 
, але 
, бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: 
, а тоді матриця 
мала б нульовий елемент 
, що суперечить умові. Тому можна записати, що 
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.
Позначимо
.Оскілки
, то існує S-1. Перепишемо рівняння 
та 
у матричній формі 
або 
.Відкіля
і взагалі 
Знайдемо границю Pn:
Твердження 1 теореми доведено.
Доведемо тепер, що рядки матриці
однакові. Для цього обчиcлимо .Оскільки
, то 
Ми бачимо, що рядки матриці - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність 
Для того, щоб довести треба довести, що
, треба довести, що 
та 
.Маємо
, 
, тому що p>0 і q >0Теорема доказана.
Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць
Зауваження2 Позначимо
рядки граничної матриці . Тоді 
можна знайти з умови: 
Доведення.
Оскільки
Зівдки
Або
Звідки
Зокрема, для 2х2 матриці
Умовою
рядок 
визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.
Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.
Список літератури:
1. С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.
МГУ. 1980
2. С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.
М., 1984
3. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969
4. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967
5. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988
6. С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964
7. Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963
8. П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978
9. Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978
10.В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.
Т1. “Мир”.М. 1984