Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова (стр. 1 из 2)
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
1. Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:
Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці
. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.З матрицями можна здійснювати такі операції:
1. Множити на число
Приклад:
2. Додавати матриці однакових розмірів:
Приклад:
3. Множити матриці:
Приклад:
Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме:
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи
, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо
Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли
.Беспосередньо можна первірити, що для
Визначення: Число l називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик
такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню l.Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння
. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:
1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні значення по модулю < r.
3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Нехай
.Тоді
.Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
.Це квадратне рівніння з дискримінантом:
І тому
Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=l1.
Знайдемо власний вектор
, що відповідає власному значенню l1 з рівності 
Тоді
, або 
Враховуючи, що
перепишемо систему у вигляді:
Але
і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.Знайдемо x1з першого рівняння системи
Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що
,тому що поклавши отримаємо x1>0.Враховуючи, що b>0 треба довести, що
,але це випливає з того, що
, бо cb>0.Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду
, де А1, А2 - квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k) відповідно. Для 2х2 матриць 
це означає, що 
та 
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.
Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
1)
2)
Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що
(тобто всі елементи додатні). Тоді1.
(існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)2. Матриця
- має однакові рядки.3. Всі елементи цих рядків додатні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Запишемо стохастичну матрицю у вигляді
, де 
Запишемо її характеристичне рівняння:
, 
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
І тому
З урахуванням
маємо 
, але якщо 
, то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд 
, або 
і тоді Pn містить нулі 
, що суперечить умові. Таким чином 
.