Кольца и полукольца частных (стр. 3 из 6)

4⁰ Если

, то 0 не является плотным идеалом.

Доказательство.

Пусть

. Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲

Определение₃.Дробью назовём элемент

, где - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )

Таким образом,

- гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .

Введём так же дроби

, положив и для .

Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:

пусть

и тогда

,

, .

Покажем, что

является идеалом, где т.е. сохраняются операции:

1. Если

, то .

Пусть

, , тогда .

2. Если

и , то . По условию .

Так как

- коммутативное полукольцо, то .

. Таким образом, - идеал.

Покажем, что идеал

является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .

По определению сложения и умножения

, т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 2⁰ идеал является плотным.

Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу

с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.

Доказательство:

1. По определению сложения и умножения:

, .

,

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Нейтральный элемент.

5. Дистрибутивность:

Правосторонняя дистрибутивность аналогично.

Таким образом, дроби образуют полукольцо.

Определение₄. Будем писать

если и согласованы на пересечении своих областей определений, т.е. для .

Лемма 1.

тогда и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.

Доказательство.

Если

то и согласованы на . По свойству 3⁰ идеал является плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.

Обратно, пусть

и согласованы на плотном идеале . Тогда если и , то отсюда в силу плотности идеала , для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что .▲

Лемма 2. Отношение

является конгруэнцией на системе .

Доказательство.

Для того чтобы доказать, что

- конгруэнция, нужно показать:

1. отношение

- рефлексивно, симметрично, транзитивно.