Рефлективность:

и

согласованы на плотном идеале

.
Симметричность: пусть

, т.е.

и

согласованы на

.
Транзитивность: пусть

и

, т.е.

и

согласованы на плотном идеале

и

согласованы на плотном идеале

. Значит

и

согласованы на идеале

, являющемся плотным , и

согласована с

на

, тогда

согласована с

на плотном идеале

по
Лемме 1 
Таким образом,

- отношение эквивалентности.
2. отношение

сохраняет полукольцевые операции.
- Пусть

и

, т.е.

для

и

для

.
Тогда

и

определены и согласованы на плотном идеале

отсюда по
Лемме 1 
.
- Пусть

и

, т.е.

для

и

для

.
Тогда

и

определены и согласованы на плотном идеале

отсюда по
Лемме 1 
.▲
Теорема2.Если

- коммутативное полукольцо то система

так же является коммутативным полукольцом.

. (Будем называть

полным полукольцом частных полукольца

)
Доказательство.

- разбивает множество дробей

на

непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в

справедливы и в

.
Чтобы убедится, что

коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения:

и

согласованы на идеале

покажем, что образы отображений

и

совпадают на этом идеале:
пусть

, где

.
Тогда

.
Областью определения

является

. По определению идеала:

то

для

, а идеал

(свойство 3
0) то:

. Тогда по определению сложения

отсюда следует

. Покажем

. По определению

Аналогично

.
Тогда:

Таким образом,

где

. По свойству 3
0 
- плотный идеал значит

и

согласованы на плотном идеале

.
2. Коммутативность.
Отображения

и

согласованы на плотном идеале

докажем что их образы совпадают на этом идеале:

.
Доказано ранее, что

пусть элементы

тогда