Кольца и полукольца частных (стр. 5 из 6)
Отсюда следует, что
и 
согласованы на плотном идеале 
.Таким образом,
по Лемме 1.Наконец
сопоставим дробь: 
с областью определения 
при которой 
переходит в 
.Предложение2. Отображение
является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции: 
Доказательство:
1. Пусть
, 
и 
где 
и 
.Нужно показать, что
. Покажем равенство образов 
и 
.Рассмотрим дробь
, такую что 
для 
. (1)С другой стороны рассмотрим дроби
и 
, такие что 
для . (2)Из (1) и (2) следует, что
.По свойству сложения смежных классов:
для 2. Пусть
, и 
где и 
.Нужно показать, что
. Покажем равенство образов 
и 
.Рассмотрим дробь
, такую что 
для 
. (3)С другой стороны рассмотрим дроби
и , такие что 
для . (4)Из (3) и (4) следует, что
.По свойству умножения смежных классов:
для .Таким образом
гомоморфизм.Пусть
, тогда 
т.е. и 
согласованы на некотором плотном идеале 
значит 
для 
, так как - плотный идеал, то 
отсюда 
- инъективно.Поэтому, гомоморфизм
является мономорфизмом и вкладывается в полное полукольцо частных.Гомоморфизм
будем называть каноническим мономорфизмом в 
.▲Глава 3.
Определение5.Любому мультипликативно сокращаемому элементу
сопоставим плотный идеал 
. Если 
, то элемент 
назовём классической дробью, полагая 
для .Теорема3. Множество дробей
образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных 
полукольца .Доказательство:
Рассмотрим отображение
, т.е. 
.1. Докажем, что
- отображение: если 
и 
, 
, где 
, 
, то 
.Имеем
Возьмём элемент
из пересечения плотных идеалов 
, т.е. 
и 
Тогда
, домножим на 
получим 
. Так как 
и на выполняется коммутативность по умножению, то 
, 
отсюда 
для 
.