Кольца и полукольца частных (стр. 1 из 6)

Содержание

Введение

Глава 1.Построение классического полукольца частных

Глава 2.Построение полного полукольца частных

Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных

Библиографический список

Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество

с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1.

- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1)

;

2)

3)

А2.

- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1)

;

2)

3)

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

, .

А4.

.

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел

.

Будем считать пары

и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение₁. Элемент

назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим через

множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение₁.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть

- делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым.▲

Пусть

- коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на

: для всех и .

Предложение₁. Отношение ~ является отношением эквивалентности на

.

Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца

;

2. Симметричность:

;

3.Транзитивность:

Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .

Полукольцо

разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:

т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть

, , тогда

▲

Теорема₁.

- коммутативное полукольцо с 1. .

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество

всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для

и

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для

.