Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (стр. 3 из 6)

Допустим, что необходимо получать значения случайной величины

, распределённой в интервале , с плотностью . Докажем, что значения можно находить из уравнения

(1.10)

т.е. выбрав очередное значение

, надо решить уравнение (1.10) и найти очередное значение .

Для доказательства рассмотрим функцию

.

Из общих свойств плотности (1.2), (1.3) следует, что

Значит, функция

монотонно возрастает от 0 до 1, и любая прямая , где , пересекает график в одной единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за . Таким образом, уравнение (1.10) всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал

, содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой , удовлетворяющие неравенству .

Поэтому, если

принадлежит интервалу , то принадлежит интервалу , и наоборот. Значит

Так как

равномерно распределена в , то

,

итак

,

а это и означает, что случайная величина

, являющаяся корнем уравнения (1.10), имеет плотность вероятностей .

Может оказаться, что разрешить уравнение (1.10) относительно

трудно, например, в случаях, когда интеграл от не выражается через элементарные функции или когда плотность задана графически. Предположим, что случайная величина определена на конечном интервале и плотность её ограничена .

Разыгрывать значение

можно следующим образом:

1) выбираются два значения

и случайной величины и строится случайная точка с координатами

2) если точка

лежит под кривой , то полагаем , если же точка лежит над кривой , то пара отбрасывается и выбирается новое значение.

1.2 Вычисление интегралов

Рассмотрим функцию

, заданную на интервале , требуется приближенно вычислить интеграл

(2.1)

Этот интеграл может быть несобственным, но абсолютно сходящимся.

Выберем произвольную плотность распределения

, определённую на интервале . Наряду со случайной величиной , определённой в интервале с плотностью , необходимо определить случайную величину

Согласно соотношению

получим

Рассмотрим теперь

одинаковых независимых случайных величин и применим к их сумме центральную предельную теорему. Формула (1.7) в этом случае запишется так:

Последнее соотношение означает, что если выбирать

значений , то при достаточно большом

(2.2)

Оно показывает также, что с очень большой вероятностью погрешность приближения (2.2) не превосходит

.

Для расчёта интеграла (2.1) можно использовать любую случайную величину

. Определённую в интервале с плотностью . В любом случае . Однако дисперсия , а с ней и оценка погрешности формулы (2.2) зависят от того, какая величина используется, так как

(2.3)

Докажем, что это выражение будет минимальным тогда, когда

пропорциональна .

Для этого воспользуемся неравенством

, в которым положим , . Получим неравенство

(2.4)

Из (2.3), (2.4) следует, что

(2.5)