Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (стр. 5 из 6)

1) Пусть

, формула для разыгрывания имеет вид . А формула (2.2) примет вид .

Пусть

. В качестве значений используем тройки чисел из табл. 1 (см. приложение), умноженные на 0.001. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.1. Результат расчёта

Таблица 2.1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.865	0.159	0.079	0.566	0.155	0.664	0.345	0.655	0.812	0.332
	1.359	0.250	0.124	0.889	0.243	1.043	0.542	1.029	1.275	0.521
	0.978	0.247	0.124	0.776	0.241	0.864	0.516	0.857	0.957	0.498

2) пусть теперь

. Для разыгрывания используем формулу

,

откуда получаем

формула (2.2) имеет вид

Пусть

. Числа выберем те же, что и в случае 1. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.2. Результат расчёта

Таблица 2.2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.865	0.159	0.079	0.566	0.155	0.664	0.345	0.655	0.812	0.332
	1.461	0.626	0.442	1.182	0.618	1.280	0.923	1.271	1.415	0.905
	0.680	0.936	0.968	0.783	0.937	0.748	0.863	0.751	0.698	0.868

Как и ожидалось, второй способ вычислений дал более точный результат.

3) По значениям, приведённым в таблицах (2.1) и (2.2) можно приближенно сосчитать дисперсии

для обоих методов расчёта:

для 1:

для 2:

Несмотря на то, что значение

невелико и приближенная нормальность оценки (2.2) не гарантирована, вычислим для обоих методов величины . Получим значения 0.103 и 0.027. Также фактические абсолютные погрешности при расчёте , равные 0.048 и 0.016, – величины того же порядка. Точные же значения в рассмотренном примере равны 0.233 и 0.0166. Таким образом, и при оценке дисперсий метод 2 оказался точнее метода 1.

2.2 Пример 2

Рассмотрим пример:

Требуется вычислить интеграл

(3.4)

где область G задаётся следующими неравенствами:

Область интегрирования принадлежит единичному квадрату

. Для вычисления интеграла воспользуемся таблицей случайных чисел (см. приложение), при этом каждые два последовательных числа из этой таблицы примем за координаты случайной точки .

Записываем координаты

и случайных точек в табл. 3.1, округляя до 3 знаков после запятой, и выбираем те из них, которые принадлежат области интегрирования.

Заполним табл. 3.1 по правилу:

1) Среди всех значений

выделяем те, которые заключены между и .Для этих значений полагаем , для всех остальных

2) Среди всех значений

. Соответствующих выделенным , выбираем те, которые заключены между

Для этих значений полагаем

, для всех остальных

Таблица 3.1

0.577	0.500	1.000	1	0.716	0	0.154	0	0
0.737	0.500	1.000	1	0.701	0	0.474	0	0
0.170	0.500	1.000	0	0.533	0
0.432	0.500	1.000	0	0.263	0
0.059	0.500	1.000	0	0.663	0
0.355	0.500	1.000	0	0.094	0
0.303	0.500	1.000	0	0.552	0
0.640	0.500	1.000	1	0.205	0	0.280	1	1	0.452
0.002	0.500	1.000	0	0.557	0
0.870	0.500	1.000	1	0.323	0	0.740	1	1	0.855
0.116	0.500	1.000	0	0.930	0
0.930	0.500	1.000	1	0.428	0	0.860	1	1	1.048
0.529	0.500	1.000	1	0.095	0	0.058	0	0
0.996	0.500	1.000	1	0.700	0	0.992	1	1	1.482
0.313	0.500	1.000	0	0.270	0
0.653	0.500	1.000	1	0.934	0	0.306	0	0
0.058	0.500	1.000	0	0.003	0
0.882	0.500	1.000	1	0.986	0	0.764	0	0
0.521	0.500	1.000	1	0.918	0	0.042	0	0
0.071	0.500	1.000	0	0.139	0
всего								4	3.837

3) Вычисляем

. Области тнтегрирования принадлежат только те точки, для которых . В примере

4) Вычисляем значения подынтегральной функции в полученных точках.

После заполнения табл. 3.1 вычисляем площадь области интегрирования

и по формуле (3.2) находим

Для сравнения приведём точное значение интеграла