Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
(3)
где
Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:
1). Разделить переменные, т. е. Преобразовать уравнение к виду
(4)
2). Проинтегрировать обе части уравнения (4)
(5)
где
3). Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно y (и найти область определения решения):
4). Добавить к решению (5) все функции вида
Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:
ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду
у2 + х2 = R2.
Рис. к задаче 6.
D(у) =
4). В данном случае, уравнение
y = а нет.
Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида
(7) у" + by' + су=0,
где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение
. (8) k2 + bk + c = 0
имеют следующий вид:
A)
Б)
где α— единственный корень характеристического уравнения;
B)
где
Общее решение
(9)
является суммой некоторого его частного решения
Многочлен
В тех случаях, когда
1.
корни характеристического многочлена | частное решение |
| |
| |
| |
2. если
первая часть | частное решение |
| |
| |
| |
3.
| |
| |
| |
Задача 7. Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение. 1). Характеристического уравнение:
Так как D = — 16, используем формулу В):
2). Так как правая часть