Высшая математика 4 (стр. 1 из 4)

Контрольная работа

высшая математика

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а) 1.

►

=0.

►

=-∞.

б)

Решение.

Предел

вычислен подстановкой

Предел

не может быть вычислен подстановкой

, поскольку в результате подстановки получается неопределенность

в)

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо

показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность

. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения

, либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение

является сопряженным по отношению к выражению

, а выражение

- по отношению к

. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений (

)·(

), и используя формулу разности квадратов

, получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение теоремы о пределе частного невозможного, поскольку, как показывает подстановка числа. -3 вместо x и предел числителя и предел знаменатели равны пулю.

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида

и для решения задачи требуется провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если

— корни квадратного трехчлена

, то

Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

Отсюда,

Аналогично,

Поэтому,

Преобразуем выражение находящиеся под знаком предела:

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при

Равны нулю, применимо правило Лопиталя.

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при

Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Используем теперь тригонометрическую формулу

Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя