Высшая математика, интегралы шпаргалка (стр. 4 из 4)

Если

- интегрируема на и , то: .

Если

- интегрируема на и , то:

Неравенство м\у непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если

- интегрируемы на и почти для всех , то:

Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если

- интегрируема на , то - также интегрируема на (обратное неверно), причём:

Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если

- интегрируемы на и , то:

Теорема о среднем значении

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка

такая, что .

Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем

, где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).

Эта теорема при f(x)

0 имеет простой геометрич. смысл: значение определенного интег-ла равно, при нек-ром , площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-a.

Число

наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

Формула Ньютона-Лейбница

Если

- первообразная непрерывной функции на , то: .

Док-во: Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

. Получим т.е. , где есть нек-рая точка интервала . Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].

Переходя к пределу при

, получаем F(b)-F(a)=

=

, т.е. .

интеграл с переменным верхним пределом

Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

.

Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

Следовательно,

=

.

Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.