Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 11 из 11)

Тоді оцінка щільності розподілу малої вибірки має вигляд

Оцінка функції розподілу F*(x) знаходиться інтегруванням щільності.

Наступний метод – метод зменшення невизначеності був запропонований Єременко В.І. та Свердликом А.Н. в 1963 році.

В цьому методі за апріорну компоненту також береться рівномірний розподіл, а за вагу

- величина .

На відміну від МПВ, випадкова величина рівномірно "розмазується" у внеску східчатої форми, вигляду

який складається з двох прямокутників однакової площі. Така заміна дозволяє досить легко будувати оцінку щільності розподілу, але виграшу вефективності дати не може, тому, що ширина внеску

є випадкова величина.

Наступний метод – метод апріорно-емпіричних функцій був запропонований Демковим І.П. та Потепун В.Е. в 1970 році.

Оцінка, побудована методом апріорно-емпіричних функцій, визначається формулою:

,

де

ширина внеску визначається тільки точністюапаратури

. В цьому істотна слабкість методу, оскільки зі зміною точності вимірювань (появи більш досконалого приладу) буде змінюватись ефективність оцінювання. Але цей метод має і сильну сторону. Ввведення коефіцієнта достовірності інформації , , який можна корегувати в залежності від конкретної ситуації, відрізняє метод АЕФ від попередніх. Це дійсно є важливим кроком вперед, тому що на практиці дані, які аналізує статистик, можуть мати різноманітну природу.

В дипломній роботі проведено експеримент, в якому кожен з трьох методів було порівняно з класичним методом.

Добувалась реалізація

вибірки з відомого розподілу . Будувалася емпірична функція розподілу та оцінка функції розподілу одним з трьох методів оцінювання функції розподілу малої вибірки. Далі обчислювалось колмогорівське відхилення емпіричної функції розподілу від гіпотетичної

,

а також відхилення побудоване аналогічно колмогорівському

,

в якому замість емпіричної функції розподілу береться оцінка функції розподілу

, обчислена одним з трьох методів оцінювання функції розподілу малої вибірки (МПВ, МЗН, МАЕФ).

Відхилення порівнювались так: фіксувався обсяг вибірки n

добувалось 20 реалізацій вибірки ; обчислювалось 20 відхилень вигляду та , рахувалось середнє та дисперсія вибірок даних відхилень.

За розподіл

розглядались рівномірний, нормальний та експоненціальний розподіли.

За методом прямокутних внесків знайдено такі результати.

Для рівномірного на [0;1] розподілу метод виявився більш ефективним за класичний метод, в тому сенсі, що середні значення відхилень, знайдені методом прямокутних внесків, менші за середні відхилення, знайдені класичним методом.

Для нормального N(1/2;1/36) та експоненціального з параметром

розподілів метод виявився більш ефективним за класичний метод для вибірок обсягом менше ніж 6 та 10 спостережень відповідно. Для вибірок більшого обсягу метод не ефективний – це обумовлено тим, що за апріорну інформацію приймається рівномірний на [0;1] розподіл.

За методом зменшення невизначеності та методом апріорно-емпіричних функцій отримано такі результати.

Для всіх розглянутих розподілів методи виявилися більш ефективними за класичний метод. Середні значення відхилень, знайдені даними методоми, менші за середні відхилення, знайдені класичним методом. Оскільки дисперсія зі збільшенням обсягу вибірки зменшується методи можна вважати стійкими.

Крім цього експерименту було проведено порівняння методів МПВ, МЗН та МАЕФ між собою.

При порівнянні виявилось, що метод апріорно-емпіричних функцій ефективніший ніж метод прямокутних внесків та метод зменшення невизначеності, внаслідок того, що відхилення

набагато менші за відхилення , знайдені класичним методом. Це пов’язано з тим, що в методі апроіорно-емпіричних функцій, на відміну від методу прямокутних внесків та методу зменшення невизначеності, введено коефіцієнт достовірності апріорної інформації.

Список використаних джерел

1. Турчин В.Н., Теория вероятностей и математическая статистика: В 2 т. - Т.2: Математическая статистика, Днепропетровск: ДГУ, 1996. - 248 с.

2. Турчин В.М., Математична статистика, К.: "Академія", 1999. – 240 с.

3. Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. Малая выборка. М., "Статистика", 1978. – 248 с.

4. Чавчанидзе В.В., Кумсишвили В.А., Об определении законов распределения на основе малого числа наблюдений. – В кн.: Применение вычислительной техники для автоматизации производства (Труды совещания 1959 г.). М., Машгиз, 1961, с. 71-75.

5. Еременко И.В., Свердлик А.Н. Об одном методе построения законов распределения величин при малом числе испытаний. – В кн.: Некоторые вопросы специального применения вычислительной техники. Л., ЛВИКА им.А.Ф. Можайского, 1963, с. 18 – 29.

6. Демаков И.П., Потепун В.Е. Статистические методы определения законов распределения при анализе точности и надежности промышленных изделий по результатам эксперимента. Л., 1970. 39 с.

7. Методы статистического анализа и обработка малого числа наблюдений при контроле качества и надежности приборов и машин. Л., 1974. 92 с.

8. Березин О.П. Определение законов распределения малых выборок методом прямоугольных вкладов. – Доклады к НТК по надежности судового электрооборудования, вып. 65. Л., 1965, с. 190 – 198.

9. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. – 2-е изд., дополн. – М.: Наука, 1982. – 296 с.

10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., Наука, 1970. 720 с.