Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 3 из 11)

Зауваження 2. Розподіл, що відповідає емпіричній функції розподілу

, будемо називати емпіричним. При кожному фіксованому це дискретний розподіл, що ставить у відповідність кожній точці , "масу" (або , якщо з збігаються вибіркових значень, враховуючи й )

Про відхилення емпіричної функції розподілу

від функції розподілу .

Емпірична функція розподілу

є оцінкою функції розподілу . Тому природно поставити запитання: наскільки емпірична функція розподілу , побудована за вибіркою із F, відхиляється від (якими можуть бути відхилення емпіричної функції розподілу від )? Зазначимо, що відхилення від є випадковою величиною, і коли ми говоримо про таке відхилення, мусимо говорити про розподіл відхилення.

Міру відхилення емпіричної функції розподілу

від функції розподілу можна вводити різними способами. Розглянемо поки що відхилення емпіричної функції розподілу від функції розподілу (коли остання неперервна), запропоноване А. М. Колмогоровим:

(1.2.3)

(далі будемо писати

). Ця міра відхилення має ту важливу властивість, що при досить великих розподіл , незалежно від розподілу , з якого одержано вибірку , близький до розподілу Колмогорова.

Обчислення

. Нехай – емпірична функція розподілу, побудована за вибіркою , точніше – за реалізацією вибірки; – неперервна функція розподілу. Часто виникає необхідність обчислити

(1.2.4)

для заданих

та . Зазначимо, що не обов’язково є вибіркою з розподілу .

Для того щоб обчислити

,

коли

"перебігає" , його досить обчислити на кожному з проміжків

(1.2.5)

й із знайдених чисел вибрати найбільше.

Обчислимо спочатку

(1.2.6)

Значення

(1.2.7)

дорівнює одному з чисел

(1.2.8)

Функція

стала на кожному з відрізків (1.2.5), - неспадна функція; тому функція - на відрізках (1.2.5) неспадна, й отже, (див. також рис.1.2.2)

(1.2.9)

(1.2.10)

(1.2.11)

(при обчисленні границь враховано, що

стала на проміжках (1.2.5) функція, а отже, неперервна зліва (див. також рис. 1.2.2).

Рис.1.2.2. До обчислення

Отже,

дорівнює

(1.2.12)

або

,(1.2.13)

Для проміжків

та маємо

(1.2.14)

(1.2.15)

Якщо через

позначити довільну точку, що лежить праворуч від , то за означенням функції її значення дорівнює 1 й останню рівність можна записати в тій самій формі, що й інші:

(1.2.16)

Таким чином,

дорівнює найбільшому з чисел

(1.2.17)

де

.

1.3 Моделювання неперервних випадкових величин

Для розв’язання задач часто необхідно добути на ЕОМ послідовність вибіркових значень випадкової величини з заданим розподілом. Такий процес прийнято називати моделюванням випадкової величини. Випадкові величини зазвичай моделюються за допомогою перетворень одного або декількох незалежних значень рівномірно розподіленої на

випадкової величини .

Нехай випадкова величина

означена на інтервалі та має щільність при . Позначимо через функцію розподілу , яка при дорівнює