Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 6 из 11)

де

– інтервал дискретності, який визначається точністю спостереження (вимірювання) випадкової величини; – щільність оцінюваної функції розподілу, яка є обмеженою функцією на та має скінчене число точок розриву. Крім того, при побудові за допомогою метода апріорно- емпіричних функцій використовується індивідуальний підхід до кожної реалізації вибірки: інформація яка вкладена в реалізації , розподіляється рівномірно на відрізку дискретності .

Метод АЕФ передбачає наступний порядок дій для побудови оцінки функції розподілу.

1. Визначається відрізок [a,b] та відрізок дискретності

. За границі a та b, у випадку, якщо вони невідомі апріорно, рекомендується брати величини або , де - середнє вибіркове для вибірки , – вибіркова дисперсія, обчислена за вибіркою . Такий вибір меж відрізку базується на відомому в математичній статистиці "правилі ".

2. Обчислюється відрізок означення функції

за умов (2.3.2), (2.3.3).

3. Задається апріорна функція розподілу

та будується на відрізку , при цьому

(2.3.4)

4. Задається величина

та будується на даному відрізку лінія обліку за формулою

(2.3.5)

де

– номер лінії обліку; – число реалізацій, рівних за значенням до .

5. В точках

відновлюються перпендикуляри до вісі абсцис та знаходяться точки перетину перпендикулярів: в точках з і-ми лініями обліку, в точках з (і+1)-ми лініями обліку.

6. Від точки

до точки будується ламана лінія, яка з’єднує всі знайденні точки перетину, при цьому оскільки точки та лежать на одній лінії обліку то ламана між цими точками йде за лініями обліку. Точки та з’єднуються відрізком прямої. Знайдена ламана лінія є оцінкою функції розподілу. На рис. 2.3.1, як приклад наведено побудову за вибіркою обсягом .

Рис. 2.3.1. Графік оцінки функції розподілу

Методи АЕФ та МПВ, хоча й спрямовані на побудову оцінок різних функцій, відносяться до однієї групи методів, які базуються на використанні апріорної інформації, індивідуальному підході до реалізацій вибірок та "розмазуванні" інформації. Більш того, можна вважати, що метод АЕФ є теж методом прямокутних внесків. Розглянемо рисунок (2.3.2), де наведена оцінка щільності розподілу

, побудована шляхом диференціювання , що зображена на рис. 2.3.1, за змінною х.

Рис. 2.3.2. Графік оцінки щільності розподілу

Оцінка

складається з лінійної суми апріорної рівномірної на відрізку щільності та прямокутних внесків з відповідними вагами. Оцінка аналогічна до (2.1.6) в МПВ, але при цьому ширина внеску визначається тільки точністю вимірювальної апаратури . В цьому істотна слабкість методу, оскільки зі зміною точності вимірювань (появи більш досконалого приладу) буде змінюватись ефективність оцінювання.

Метод АЕФ має і сильну сторону. Відмова від прирівняння апріорної інформації та інформації, знайденої від окремої реалізації

, та введення коефіцієнта достовірності інформації відрізняє метод АЕФ від МПВ та МЗН і є кроком вперед. Дійсно, апріорна інформація, яку має статистик, може мати різну природу, тому достовірність її може бути різною, а задання , як це зроблено в МПВ та МЗН, є обмеженням, яке знижує ефективність оцінювання розподілу вибірки.

3. Порівняння класичного методу та сучасних методів оцінювання малої вибірки

В дипломній роботі проведено експеримент, в якому кожен з розглянутих сучасних методів було порівняно з класичним методом.

Добувалась реалізація

вибірки з відомого неперервного розподілу . Будувалась емпірична функція розподілу та оцінка функції розподілу одним з трьох методів оцінювання функції розподілу малої вибірки. Далі обчислювалось колмогорівське відхилення емпіричної функції розподілу від гіпотетичної

,(3.1.1)

а також відхилення побудоване аналогічно колмогорівському

,(3.1.2)

в якому замість емпіричної функції розподілу береться оцінка функції розподілу

, обчислена одним з трьох методів (МПВ, МЗН, МАЕФ).

Відхилення (3.1.1) та (3.1.2) порівнювались так: фіксувався обсяг вибірки n

добувалось 20 реалізацій вибірки , обчислювалось 20 відхилень (3.1.1) та (3.1.2). Для класичного методу рахувалось середнє та дисперсія вибірок з 20 відхилень (3.1.1):

;(3.1.3)

(3.1.4)

Для методів оцінювання функції розподілу малої вибірки рахувалось середнє та дисперсія вибірок з 20 відхилень (3.1.2):

;(3.1.5)

(3.1.6)

Розглядались три розподіла

: рівномірний на проміжку [0,1], нормальний та експоненціальний з параметром .