Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 9 из 11)

Рис. 3.15 Залежність величини

від обсягу вибірки n

Рис. 3.16 Залежність величини

від обсягу вибірки n

Метод апріорно-емпіричних функцій

– експоненціальний розподіл з параметром λ=5

Таблиця 3.9. Залежність величин

та від обсягу вибірки n

Обсяг вибірки
	Класичний метод	Метод апріорно-емпіричних функцій	Класичний метод	Метод апріорно-емпіричних функцій
3	0,446	0,235	0,014	0,007
4	0,440	0,234	0,014	0,012
5	0,345	0,229	0,007	0,009
6	0,343	0,197	0,012	0,008
7	0,298	0,196	0,008	0,011
8	0,297	0,188	0,008	0,007
9	0,250	0,186	0,003	0,005
10	0,243	0,184	0,006	0,004
11	0,239	0,183	0,008	0,007
12	0,220	0,173	0,005	0,004
13	0,220	0,170	0,003	0,004
14	0,222	0,170	0,003	0,003
15	0,217	0,164	0,003	0,005

За методом апріорно-емпіричних функцій для експоненціального розподілу з параметром λ=5 знайдено такі результати: метод виявився більш ефективним за класичний метод, внаслідок менших значень математичного сподівання вибірок. Оскільки дисперсія зі збільшенням обсягу вибірок зменшується, це свідчить про те, що метод стійкий.

Для наочності проілюструємо знайдені результати за допомогою графіків залежностей величин

та від обсягу вибірки n

Рис. 3.17 Залежність величини

від обсягу вибірки n

Рис. 3.18 Залежність величини

від обсягу вибірки n

Проведемо порівняння методів МПВ, МЗН та МАЕФ між собою за допомогою критеріїв:

;(3.1.3)

(3.1.4)

де

– математичне сподівання вибірки з колмогорівських відхилень,

– математичне сподівання вибірки з відхилень, обчислених одним з трьох методів оцінювання функції розподілу малої вибірки,

– дисперсія вибірки з колмогорівських відхилень,

– дисперсія вибірки з відхилень, обчислених одним з трьох методів оцінювання функції розподілу малої вибірки.

Результати порівняння наведено в таблицях 3.10, 3.11.

Таблиця 3.10. Порівняння методу прямокутних внесків, методу зменшення невизначеності та методуапріорно-емпіричних функцій

Обсяг вибірки	Ефективність
	Рівномірний розподіл			Нормальний розподіл			Експоненціальний розподіл
	Метод прямокутних внесків	Метод зменшення невизначеності	Метод апріорно-емпіричних функцій	Метод прямокутних внесків	Метод зменшення невизначеності	Метод апріорно-емпіричних функцій	Метод прямокутних внесків	Метод зменшення невизначеності	Метод апріорно-емпіричних функцій
3	2,750	2,284	9,286	1,282	1,733	2,249	1,541	1,749	1,897
4	2,618	1,908	9,593	1,181	1,592	2,263	1,312	1,472	1,879
5	2,726	1,705	7,721	1,119	1,473	1,880	1,147	1,369	1,506
6	2,680	1,585	7,556	1,007	1,455	1,688	1,051	1,370	1,736
7	2,263	1,514	6,978	0,844	1,421	1,804	1,055	1,415	1,523
8	2,369	1,429	6,948	0,815	1,313	1,956	1,037	1,331	1,579
9	2,371	1,424	6,875	0,818	1,369	1,776	1,042	1,378	1,342
10	2,255	1,388	6,857	0,805	1,331	1,601	1,050	1,324	1,322
11	2,151	1,353	7,069	0,682	1,283	1,711	0,866	1,333	1,303
12	1,938	1,332	6,478	0,577	1,266	1,546	0,785	1,293	1,271
13	1,991	1,308	6,570	0,647	1,187	1,496	0,792	1,408	1,293
14	2,366	1,299	6,115	0,554	1,206	1,574	0,746	1,339	1,305
15	2,094	1,280	6,330	0,555	1,234	1,566	0,718	1,271	1,318

Таблиця 3.11. Порівняння методу прямокутних внесків, методу зменшення невизначеності та методуапріорно-емпіричних функцій

Обсяг вибірки	Ефективність
	Рівномірний розподіл			Нормальний розподіл			Експоненціальний розподіл
	Метод прямокутних внесків	Метод зменшення невизначеності	Метод апріорно-емпіричних функцій	Метод прямокутних внесків	Метод зменшення невизначеності	Метод апріорно-емпіричних функцій	Метод прямокутних внесків	Метод зменшення невизначеності	Метод апріорно-емпіричних функцій
3	2,773	3,448	28,553	3,867	1,122	1,489	2,437	1,388	1,952
4	1,518	1,563	34,529	2,929	1,291	1,105	3,641	1,405	1,250
5	1,504	1,440	32,057	2,598	1,349	2,383	2,981	0,956	0,706
6	3,268	1,372	27,521	2,620	1,154	1,146	3,831	0,981	1,472
7	1,918	1,306	26,569	7,186	1,152	1,401	3,277	1,880	0,743
8	1,458	1,411	21,077	7,298	1,376	1,517	4,518	0,879	1,079
9	2,834	1,235	25,538	6,635	1,373	4,360	3,625	0,953	0,705
10	2,781	1,210	23,611	6,396	1,140	1,249	2,225	1,150	1,666
11	2,965	1,190	31,768	5,306	1,388	1,678	3,010	1,285	1,221
12	1,278	1,174	24,606	12,832	1,400	2,614	2,437	0,985	1,315
13	1,979	1,160	23,787	19,543	1,276	1,874	3,317	1,216	0,923
14	2,294	1,148	31,604	16,094	1,090	2,236	1,766	1,437	0,984
15	2,166	1,138	22,970	17,135	1,247	2,634	2,024	1,104	0,653

При порівнянні розглянутих сучасних методів між собою виявилось, що величини

та набагато більші для методу апріорно-емпіричних функцій, ніж для методу прямокутних внесків та методу зменшення невизначеності, внаслідок того, що математичне сподівання та дисперсія вибірок з відхилень (3.1.2) обернено пропорційні до величин та відповідно, а для методу апріорно-емпіричних функцій математичне сподівання та дисперсія вибірки з відхилень (3.1.2) набагато менші за математичне сподівання та дисперсію вибіркок з відхилень, обчислених за двома іншими методами. Це свідчить про те, що метод апріорно-емпіричних функцій є більш ефективним за метод прямокутних внесків та метод зменшення невизначеності. Це пов’язано з тим, що в методі апроіорно-емпіричних функцій, на відміну від методу прямокутних внесків та методу зменшення невизначеності, введено коефіцієнт достовірності апріорної інформації, який можна корегувати в залежності від конкретної ситуації. Це дійсно є важливим кроком вперед, тому що на практиці дані, які аналізує статистик, можуть мати різноманітну природу.

Проілюструємо знайдені результати за допомогою графіків.

Рис. 3.19 – 3.21 Порівняння методу прямокутних внесків, методу зменшення невизначеності та методу апріорно-емпіричних функцій