III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА.
Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за эти века и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в начале 19 в. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.
1. Расширение предмета математикию
Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привёл к необходимости углублённого логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в у потребление геометрич. интерпретации комплексных чисел [датский землемер К. Вессель, 1799, и франц. математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения пятой степени (итал. математик П. Руффини, 1799, и более строго — норвежский математик Н. Абель, 1824), создание франц. математиком О. Коши основ теории функций комплексного переменного, работы Коши по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание русским математиком Н. И. Лобачевским (1826, опубликовано в 1829—30) и венгерским математиком Я. Больяй (1832) неэвклидовой геометрии, работы нем. математика К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — вот типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии М.
Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, а также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и середине 19 в. центральное положение во всем математич. анализе. Главная линия развития заключалась здесь в том, что переход в комплексную область делал более ясными и обозримыми свойства подлежащих изучению функций. Широкий интерес к непосредственному реальному применению функций комплексного переменного, напр. как функций, задающих комформное отображение, развился позднее; хотя возможности таких применений были намечены еще Эйлером.
Еще более замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского. Возможность этой новой системы геометрии была усмотрена Лобачевским на основе выяснения происхождения основных геометрич. понятий из материальной действительности и логич. анализа строения обычной эвклидовой геометрии. Самому Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к вычислению нек-рых интегралов. Позднее были обнаружены связи его геометрии с теорией поверхностей и с теорией групп преобразований, геометрия эта нашла применения при исследовании важных классов аналитич. функций и т. д. Только в 20 в. с созданием теории относительности получило осуществление предположение Лобачевского о возможности применения его геометрич. идей к исследованию реального физич. пространства.
Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в конце 18 в. и 1-й половине 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математических фактов нашёл во 2-й половине 19 в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Лагранжем групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Именно на этой почве были получены уже упоминавшиеся результаты Руффини и Абеля, завершившиеся несколько позднее тем, что франц. математик Э. Галуа (1830—32, опубликовано в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В середине 19 в. англ. математик А. Кэли дал общее «абстрактное» определение группы. Норвежский математик С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого русский кристаллограф и геометр Е. С. Фёдоров (1890) и нем. математик А. Шёнфлис (1891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.
В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного анализа. Постепенно всё более обнаруживалось, что именно с точки зрения механики и физики «скалярные» величины, послужившие исходным материалом для формирования понятия действительного числа, являются лишь частным случаем величин многомерных. Рассмотрение функциональных зависимостей между такими величинами и составляет содержание векторного исчисления и тензорного исчисления (см.). Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями квантовой физики.
Таким образом, как в результате внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется: в него· входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» приведённое в начале статьи определение М. применимо и на новом современном этапе её развития.
Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного создания новых геометрич. систем, новых «алгебр» с «некоммутативным» или даже «неассоциативным» умножением и т. д. по мере возникновения в них потребности. В настоящее время вопрос о том, не следует ли, напр., ради анализа и синтеза того или иного типа релейно-контактных схем создать новую «алгебру» с новыми правилами действий, является не вызывающим особого удивления делом повседневной научно-технич. практики. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математич. мышления, к-рая для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой идейной стороны наиболее значительным среди открытий начала 19 в. явилось открытие неэвклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освященных тысячелетним развитием М. аксиом, была понята возможность создания существенно новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логич. необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем всё более широкие, вполне конкретные применения.
В дополнение к сказанному об определении предмета М. следует заметить, что пространственные формы можно рассматривать как частный вид количественных отношений, если этому последнему термину придать достаточно широкое толкование, так что с этой точки зрения включение в определение М. особого упоминания «пространственных форм» является лишь указанием на относительную самостоятельность геометрич. отделов М. Количественные отношения (в общем философском понимании этого термина) характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, к-рые они связывают. Поэтому они и могут быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для дела (ср. указание Энгельса, приведенное в начале статьи). Так, число остается одним и тем же, независимо от того, численность какого рода предметов оно выражает; линейная зависимость y=ax+b остается одной и той же, независимо от того, что обозначают x и у, и т. д. Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от к-рой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенности М. как науки о такого рода отношениях. Её по преимуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны содержаться в самом их определении. Широкая применимость каждой математич. теории в различных по конкретному содержанию областях естествознания и техники объясняется тем, что М. изучает только отношения, безразличные к конкретной природе связываемых ими объектов. В создании методов, достаточно гибких, чтобы изучать весьма общие и разнообразные количественные отношения (в указанном выше широком понимании), и заключается принципиальная новизна современного периода развития М. Сказанному лишь кажущимся образом противоречит частое употребление в М. термина качественные методы. В указанном широком понимании изучаемые М. отношения всегда являются количественными. Но когда в к.-л. области М., наряду с количественными отношениями, уже получившими стандартное выражение и подчинёнными определённым вычислительным правилам, требуется ввести в рассмотрение существенно новые стороны исследуемых явлений, то говорят, что происходит переход от количественных рассмотрении к качественным. Так, в теории дифференциальных уравнений к области качественных методов относят методы исследования поведения интегральных кривых «в целом», не требующие фактич. интегрирования самих дифференциальных уравнении, а основанные на общих топологич. соображениях. Однако при их полном развитии сами эти топологич. методы подчиняются определенному алгоритму, сводящему вопрос к вычислению нек-рых числовых характеристик (степень отображения и т. п.), что уже явно указывает на количественный характер вновь привлеченных отношений. Большой удельный вес в современной М. качественных (в таком относительном смысле) методов объясняется сложностью строения М., когда постоянно на основе одних математич. теорий возникают новые теории, имеющие дело с новыми объектами (вопрос о разрешимости уравнений в радикалах сводится к строению соответствующих групп подстановок и т. п.).