Исследование математических моделей оптимизации обслуживания сложных систем (стр. 2 из 5)

Таблица №1.1 - Расчёт по функции распределения.

Стратегия	Kг	Pвып	Cпр	Cпот
Стратегия A	0,83	0,68	1,41	0,3

Таблица №1.2 - Расчёт по статистическим данным.

Стратегия	Kг	Pвып	Cпр	Cпот
Стратегия A	0,83	0,65	1,33	0,28

2.2 Стратегия В.

Стратегия В — полное восстановление системы проводится либо в момент отказа, либо в заранее назначенный календарный момент времени. В начальный момент функционирования системы (t=0) планируется проведение предупредительной профилактики через случайное время распределенное по закону О(х). Если система не отказала до назначенного момента, то в этот момент дается предупредительная профилактика, средняя длительность которой равна Т_pp. Если же отказ системы произошел ранее, то этот факт обнаруживается немедленно, так как, по предположению, индикация мгновенная:

Ф(х) = (2.1)

Поэтому в момент отказа начинается внеплановый аварийно-профилактический ремонт, который длится время Т_ап (Т_ап >Т_пп). После проведения любой из перечисленных восстановительных работ система полностью обновляется. В момент окончания восстановительных работ последующая предупредительная профилактика перепланируется, и далее весь процесс обслуживания повторяется.

Постановка задачи. Определим случайный процесс характеризующий состояние исследуемой систему. Пусть Z > 0, тогда x(t):

· E₀, если в момент t система работоспособна и до отказа проработает время, большее или равное z;

· E₁, если в момент t система работоспособна и до отказа проработает время, меньшее z;

· E₂, если в момент t в системе проводится внеплановый аварийно-профилактический ремой z;

· E₃, если в момент t в системе проводится предупредительная профилактика.

Рисунок 2 – Диаграмма переходов процесса x(t) (Стратегия В)

Определенный случайный процесс является регенерирующим (например, иомен там и регенерации будут моменты переходов в состоянии апериодическим, если предположить, что хотя бы од на из случайных величин время безотказной работы период предупредительны профилактик или у - время восстановления является непрерывной случайной величиной. Можно утверждать, что при длительной эксплуатации характеристики качества функционирования выражаются дробно-линейным функционалом:

(2.2)

Предположим теперь, что функция F(y) известна лишь в отдельных точках, т. е.

F(y) Є Щ(n,y,р). (2.3)

Тогда задача заключается в определении гарантированного среднего выигрыша и функции G*(x), которая определяет периоды профилактики, обеспечивающие этот гарантированный выигрыш,

I(G^*,F^*) = max min I(G,F), где G Є Щ, F Є Щ(n,y,р). (2.4)

Гарантированный выигрыш определяется как выигрыш, получаемый при наилучшей функции распределения G*(x) и наихудшей функции распределения F*(y). Если функционал (2.2) выражает потери, то необходимо брать максимум по F Є Щ(n,y,р) и минимум по G Є Щ.

Расчёт по статистическим данным:

Методика определения минимаксных периодов проведения плановых предупредительных профилактик гарантированных значений показателей качества функционирования:

Исходные данные для расчета :

· вектор y = (y₀=0,y₁,y₂,…,y_n) и вектор р = (р₀=0, р₁, р₂,…, р_n);

· средняя длительность плановой предупредительной профилактики Т_pp;

· средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

· потери за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики С_pp ;

· потери за единицу времени при проведении внепланового аварийно-профилактического ремонта С_ap;

· прибыль C0 , получаемая за единицу времени безотказной работы системы;

· оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи.

Формулы для расчёта минимаксных периодов профилактик и гарантированных значений показателей качества функционирования:

· Коэффициент готовности.Определяется номер k₀ при котором достигает максимума выражение

, (2.5)

где k = 0,1,2,..., n.

Если максимум A_k достигается при k₀<n, то плановые предупредительные профилактики следует проводить в момент ф₀ = y_k0+1-0. Если k₀ = n, то ф₀ = ∞, т.е. плановые предупредительные профилактики проводить нецелесообразно.

· Вероятность выполнения задачи.

Определяется номер k₀ (0 ≤ k₀ ≤ n), для которого y_k0 – z ≤ 0, y_k0+1 – z > 0.

Определяется максимальное значение отношения выражений (1.6) к (1.7).

, при ф [0 , y_k+1 - z],

(2.6)

, при ф [y_m - z , y_m+1 - z].

, при k0 = 0,1,2, n (2.7)

Точка, при которой достигается максимум выражение определяет минимаксный период проведения предупредительных профилактик.

· Средние удельные потери.

Определяется номер kо, при котором достигается минимум выражения

. (2.8)

Точка ф₀ = y_k0+1-0 определяет сроки проведения плановых предупредительных профилактик.

· Средняя удельная прибыль.

Определяется номер kо, при котором достигается максимум выражения

(2.9)

Точка ф₀ = y_k0+1-0 определяет сроки проведения плановых предупредительных профилактик.

Расчёт по функции распределения времени безотказной работы системы:

Исходные данные для расчета:

· функция распределения времени безотказной работы системы F(t);

· средняя длительность плановой предупредительной профилактики Т_pp;

· средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

· потери за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики С_pp;

· потери за единицу времени при проведении внепланового аварийно-профилактического ремонта С_ap;

· прибыль C0 , получаемая за единицу времени безотказной работы системы;

· оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи.

· Коэффициент готовности :

(2.10)

· Средние удельные затраты :

(2.11)

· Средняя удельная прибыль :

(2.12)

· Вероятность выполнения задачи :

(2.13)

· Пример. Определим гарантированные значения показателей качества

функционирования и сроки проведения плановых предупредительных профилактик системы, для которой заданы следующие исходные характеристики:

T_pp = 1 ч; Т_ap = 2 ч; с_pp=1 ед/ч; с_ap=2 ед/ч; z = 25 ч; с₀ = 5 ед/ч;

y = (y₀ = 0;.y₁ = l0; у₂ = 20; у₃ = 30; у₄ = 40),

р = (р₀ = 0; р₁ = 0,1; р₂ = 0.15; р₃ = 0,3; р₄ = 0,5).

· Коэффициент готовности

Вычислим величины A_k :

Таблица №2.1 – Величины коэффициента готовности

А0	А1	А2	A3	А4
0,891	0,938	0,950	0,852	0,922

Итак, получаем гарантированное значение коэффициента готовности, равное 0,952, если предупредительные профилактики проводить через время ф₀=40-0 ч.

· Вероятность выполнения задачи.

Определяем величину k0. Для данных, приведенных в таблице №2, k₀=2(y₂ – z < 0, y₃ – z > 0).

Таблица №2.2 – Величины вероятности выполнения задачи

y = 0	y = 5 - 0	y = 5 + 0	y = 10 - 0	y = 10 + 0	у = 15
0	0,924	0,76	0,594	0,581	0,600

Максимум достигается при у = 5 - 0 и равен 0,924. Следовательно, профилактики нужно проводить через 5 - 0 ч. и гарантированное значения вероятности выполнения задачи будет равно 0,924.

· Средние удельные затраты.

Вычисляем величины средних удельных затрат.

Результаты сведены в таблицу №2.3 :

Таблица №2.3 – Величины средних удельных затрат

k = 0	k = 1	k = 2	k = 3	k = 4
0,144	0,0829	0,0775	0,0847	0,1333

Таким образом, получаем, что профилактику необходимо проводить через время 30 - 0 ч. и при этом гарантированное значение удельных затрат равно 0,0775 ед/ч.