Исследование математических моделей оптимизации обслуживания сложных систем (стр. 3 из 5)

· Средняя удельная прибыль.

Вычисляем величины средней удельной прибыли.

Результаты сведены в таблицу №2.4:

Таблица №2.4 – Величины средней удельной прибыли

k = 0	k = 1	k = 2	k = 3	k = 4
4,37	4,61	4,674	4,677	4,55

Окончательно получаем, что профилактику необходимо проводить через время 40 - 0 ч., при этом гарантированное значение средней удельной прибыли равно 0,4677 ед/ч.

Результаты вычислений представлены в таблицах 2.5 и 2.6.

Таблица №2.5 - Расчёт по функции распределения.

Стратегия	K_г	P_вып	C_пр	C_пот
Стратегия B	0,95	0,92	0,46	0,07

Таблица №2.6 - Расчёт по статистическим данным.

Стратегия	K_г	P_вып	C_пр	C_пот
Стратегия B	0,94	0,92	0,48	0,07

2.3 Стратегия С

Стратегия С - восстановление системы проводится только в заранее назначенные моменты времени независимо от отказов системы.

Для исследуемой в настоящем параграфе системы предполагается, что время самостоятельного проявления отказа разно бесконечности, т. е. появившийся в системе отказ самостоятельно не проявляется. Для такой системы планируется проведение различных восстановительных работ (плановых), при которых отказы обнаруживаются, устраняются и предупреждаются.

Пусть при t=0, когда начинается эксплуатация системы, назначается проведение плановых восстановительных работ через случайное время з, распределенное по закону G(x). Если к назначенному моменту з система не отказала (о>з, где о — время безотказной работы, распределенное по закону F(x)), то в этот момент проводится плановая предупредительная профилактика, которая полностью обновляет систему и средняя длительность которой равна Т_pp. Если к назначенному моменту система отказала (о≤з), то в этот момент проводится плановый аварийно-профилактический ремонт, который полностью обновляет систему и длится в среднем время Т_ap. После окончания плановых работ весь процесс обслуживания полностью повторяется.

Определим случайный процесс x(t), характеризующий состояние системы в момент t, x(t) :

· E₀, если в момент t система работоспособна и проработает еще время, большее z≥0;

· E₁, если в момент t система работоспособна, но до отказа проработает время, меньшее z,

· E₂, если в момент t система простаивает в неработоспособном состоянии (скрытый отказ);

· E₃, если в момент t в системе проводится плановый аварийно-профилактический ремонт;

· E₄, если в момент t в системе проводится плановая предупредительная профилактика.

Рисунок 3 – Диаграмма переходов процесса x(t) (Стратегия С)

Описанный процесс является регенерирующим (например, моментами регенерации являются моменты попадания в состояние То), а в предположении, что время, ремонта - непрерывная случайная величина, и апериодическим. При длительной эксплуатации системы характеристики качества функционирования выражаются дробно-линейным функционалом.

Как и ранее, будем предполагать, что функция распределения времени безотказной работы F(х) известна лишь в отдельных точках. F(x) Є Щ(n,y,р). Задача состоит в том, чтобы определить гарантированную среднюю величину функционала I(G,F) , т. е.

I(G^*,F^*) = max min I(G,F), где G Є Щ, F Є Щ(n,y,р).

и функцию G*(x), на которой это значение достигается. Если функционал (2.2.1) характеризует потери, то по G Є Щ берется минимум, a по F Є Щ(n,y,р) - максимум.

Расчёт по статистическим данным :

Методика определения минимаксных периодов проведения плановых предупредительных профилактик и гарантированных значений показателей качества функционирования

Исходные данные для расчета:

· вектор y = (y₀=0,y₁,y₂,…,y_n) и вектор р = (р₀=0, р₁, р₂,…, р_n);

· средняя длительность плановой предупредительной профилактики Т_pp;

· средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

· потерн за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики С_pp ;

· потери за единицу времени при проведении внепланового аварийно-профилактического ремонта С_ap;

· прибыль C₀ , получаемая за единицу времени безотказной работы системы;

· оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи;

· потери за единицу времени при наличии в системе скрытого отказа С_p.

Формулы для расчета минимаксных периодов и гарантированных значений показателей качества функционирования :

· Коэффициент готовности.

Определяется номер k0, при котором достигается максимум из выражений :

, (3.1)

, (3.2)

при k = 0,1,2,..., n.

Если выражение (2.1) больше (2.2 ), то профилактики целесообразно проводить через время ф = y_k₀ + 0 и гарантированное значение коэффициента готовности равно (2.1). Если выражение (2.1) меньше (2.2 ), то профилактики целесообразно проводить через время ф = y_k₀₊₁ - 0 и гарантированное значение коэффициента готовности равно правой части этого неравенства.

· Вероятность выполнения задачи.

Определяется номер k₀(0≤k₀≤n), для которого y_k₀ – z ≤ 0, y_k₀₊₁ – z > 0. Далее определяется максиму отношения выражения (2.3) к (2.4).

, при ф [0 , y_k₀₊₁ - z],

(3.3)

, при ф [y_m – z , y_m₊₁ – z].

Ф + T_ап р_k₊₁ + T_пп (1 – р_k₊₁) , при ф [y_k , y_k₊₁], k = 0,1,2,…, n (3.4)

Точка ф, при которой достигается этот максимум, определяет минимаксный период проведения предупредительных профилактик, а значение этого максимума есть гарантированное значение вероятности выполнения задачи.

· Средние удельные затраты.

Определяется номер k0, при котором достигается минимум из выражений :

(3.5)

(3.6)

Если при этом выражение (2.5) меньше (2.6), то предупредительную профилактику целесообразно проводить через время ф = y_k₀ + 0 и гарантированное значения средних удельных потерь равно (2.5). Если выражение (2.5) больше (2.6), то предупредительные профилактики целесообразно проводить через время ф = y_k₀₊₁ – 0 и гарантированное значение средних удельных потерь будет равно (2.6).

· Средняя удельная прибыль.

Определяется номер k₀, при котором достигается максимум выражения:

(3.7)

(3.8)

Если при этом максимум совпадает с выражением (2.7), то предупредительные профилактики целесообразно проводить через время ф = y_k₀ - 0. а гарантированное значение средней удельной прибыли равно первому выражению. Если максимум совпадает с выражением (2.8), то предупредительные профилактики целесообразно проводить через время ф = y_k₀₊₁ - 0, а гарантированное значение средней удельной прибыли равно этому второму выражению при k=k₀.

Расчёт по функции распределения времени безотказной работы системы :

Исходные данные для расчета:

· функция распределения времени безотказной работы системы F(t);

· средняя длительность плановой предупредительной профилактики Т_pp;

· средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

· потерн за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики С_pp ;

· потери за единицу времени при проведении внепланового аварийно-профилактического ремонта С_ap;

· прибыль C₀ , получаемая за единицу времени безотказной работы системы;

· оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи;

· потери за единицу времени при наличии в системе скрытого отказа С_p.

· Коэффициент готовности :

(3.9)

· Средние удельные затраты :

(3.10)

· Средняя удельная прибыль :

(3.11)

· Вероятность выполнения задачи :

(3.12)

Пример. Определим гарантированные значения показателей качества функционирования и сроки проведения плановых предупредительных профилактик системы, для которой заданы следующие исходные характеристики:

T_pp = 1 ч; Т_ap = 2 ч; с_pp=1 ед/ч; с_ap=2 ед/ч; z = 25 ч; с₀ = 5 ед/ч;

С_p = 2 ед/ч;

y = (y₀ = 0;.y₁ = l0; у₂ = 20; у₃ = 30; у₄ = 40),

р = (р₀ = 0; р₁ = 0,1; р₂ = 0.15; р₃ = 0,3; р₄ = 0,5).

· Коэффициент готовности.

Значения (3.1) и (3.2) для различных k сведены в таблицу №3.1:

Таблица №3.1 – Величины коэффициента готовности

k = 0	k = 1	k = 2	k = 3	k = 4
0 0,818	0,807 0,822	0,821 0,783	0,736 0,71	0,702 0

Итак, получили, что предупредительную профилактику целесообразно проводить через время ф =20 - 0 ч. и гарантированное значение коэффициента готовности равно 0,822.