Рівносильні та рівновеликі багатокутники (стр. 3 из 5)
Означення.Прямокутник - це параллелограм, у якого всі кути прямі.
Означення.Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основагиями трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.
Означення.Трикутником називається фігура . яка складається із трьох крапок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків , попарно з'єднуючі ці точки. Точки називаються вершинами трикутника , а відрізки - сторонами.
4. Про площу прямокутника
Теорема. Площа прямокутника зі сторонами
дорівнює 
На підставі вищевикладених аксіом і теорем, доведемо теореми про площі елементарних багатокутників методом рівновеликих і рівноскладених елементів багатокутників.
а) Площа паралелограма
Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.
Рис.2.3 Дано: ABCD-Паралелограм, AD-підстава, BH-Висота
Довести:
SABCD=AD x BH
Доведення
1. Перекроїмо паралелограм у прямокутник. Для цього розріжемо його по висоті BH , і трикутник ABH прикладемо праворуч як показано на рис.2.3. Одержимо прямокутник HBCH1 , рівноскладений з паралелограмом ABCD. Але рівноскладені фігури є рівновеликими, тобто SHBCH1=SABCD .
2. SHBCH1=BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.
Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.
б) Площа трикутника
Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.
Рис.2.4. Дано: ABC-Трикутник, AC- основа, BH- висота.
Довести:
SABC = ? AC x BH
Доведення
Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.2.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC
SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC, тому що N-Середина AC.
Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.
в) Площа трапеції
Теорема.Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.
Рис.2.5 Дано: ABCD-Трапеція, AD і BC- основи, BH-Висота
Довести:
SABCD=1/2 (AD + BC) x BH
Доведення
Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M- середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.2.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD
SABN=1/2 AN x BH, (2.1)
Але AN =AD + DN, а DN = BC.
Звідки AN=AD + BC.
Підставимо в (2.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.
2.2 Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника
Дано довільний 5-кутник
[3]. 
Рис.2.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник
Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :
1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника
2.Продовжуємо по стороніAE пряму F-K
3.Через точку Bбудуємо пряму B-F, що паралельна діагоналі AC.
4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF
5.Оскільки
й 
побудованіміж паралельними прямими й мають загальну основу , то- їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;
-площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.
6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.
7.Через точку D будуємо прямуD-K паралельну другій діагоналі СE
8.Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих D-K і F-K.
9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DKмають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.
10.Отриманий трикутник
-є рівноскладеним і рівновеликим п'ятикутнику 
, оскільки: 
РОЗДІЛ ІІІ. Розрахунок площ невипуклих багатокутників методами рівновеликості та методами використанням координатних підходів аналітичної геометрії
3.1 Застосування методу рівновеликості для розрахунку площ багатокутників
Кожному багатокутнику можна поставити у відповідність позитивне число S(площа), так щоб виконувалися наступні властивості (аксіоми) [2]:
Іншими словами , площа - це функція, задана на множині багатокутників, що приймає тільки позитивні значення й задовольняє умови I,II,III
Теорема: Доведемо ( виведемо із властивостей I,II,III), що площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сторін [4].
Нехай
і 
- довжини сторін прямокутника .A.Якщо
й - цілі числа, розділимо сторони прямокутника відповідно на й рівних частин і розіб'ємо прямокутник на 
квадратів зі стороною 1 ( рис. 3.1). Площа кожного із квадратів дорівнює 1 у силу аксіоми III , виходить, площа всього прямокутника дорівнює в силу аксіоми II. 
Рис. 3.1
Б. Нехай довжини сторін прямокутника виражені кінцевими десятковими дробами , скажемо:
, 
, (3.1)де
й 
- цілі числа , 
і 
- цифри те 0 до 9.Візьмемо одиничний квадрат і кожну його сторону розділимо на
рівних частин .Весь квадрат розіб'ємо на 
маленьких квадратиків ( рис.3.2), які в силу аксіоми I мають однакову площу 
. По аксіомі II площа одиничного квадрата 
. А тому що по аксіомі III ця площа дорівнює 1, 
(3.2) 
Рис.3.2 Рис.3.3
Числа
й 
- цілі .Ділимо сторони прямокутника на й рівних частин, відповідно. Прямокутник розбиваємо на 
рівних маленьких квадратиків ( рис.3.3) , і в силу аксіоми II площа прямокутника дорівнює 
(3.3)В. Розглянемо тепер загальний випадок , коли
й – нескінченні десяткові дроби: 
і 
(3.4)Візьмемо раціональні наближення чисел по недоліку , тобто
й 
. Прямокутник з такими сторонами є частиною прямокутника зі сторонами : це треба із властивостей довжини відрізків . Також розглянемо прямокутник зі сторонами 
й 
( це наближення чисел по надлишку); він буде містити вихідний прямокутник ( рис.3.4) . Використовуючи аксіому II, нескладно одержати, що площа даного прямокутника задовольняє умові
(3.5)При необмеженому збільшенні n ліва й права частини рівності прагнуть до того самого дійсного числа
.А це значить , що площа даного прямокутника також дорівнює .