Рівносильні та рівновеликі багатокутники (стр. 4 из 5)

Рис.3.4

Задачі на розрахунок площ рівновеликих фігур

Рівновеликими називаються фігури , що мають однакову площу. У рішеннях цих задач не використовуються формули для обчислення площ ( трикутників, параллелограмов , трапецій) - ми опираємя тільки на основні властивості площі , тобто на аксіоми I,II,III.

Задача 1.

На стороні

паралелограма взята точка . Площа трикутника дорівнює ( рис.3.5). Яка площа паралелограма ?

Рішення

Проведемо через точку

пряму , паралельну стороні ( рис. 3.6). Трикутники й рівні ; трикутники й також рівні . Таким чином, площа S незаштрихованої частини паралелограма дорівнює площі заштрихованої , тому площа всього параллелограма дорівнює .

Рис.3.5Рис.3.6Рис.3.7Рис.3.8

Задача 2.

Нехай тепер точка

взята усередині паралелограма й з'єднана з усіма його вершинами ( рис.3.7) . Площа заштрихованої частини паралелограма дорівнює . Чому дорівнює площа паралелограма?

Рішення

Як і в попередній задачі , провівши через точку

прямі , паралельні сторонам

(рис. 3.8) , переконуємося , що площа незаштрихованої частини паралелограма дорівнює площі заштрихованої, а площа всього паралелограма дорівнює

.

Задача 3.

Паралелограми

й у яких сторони й лежать на одній прямій , рівновеликі ( рис.3.9).

Рішення

Трапеція

є , з одного боку, об'єднання трикутника й паралелограма ( рис.3.10) , з іншого боку, об'єднання трикутника й паралелограма ; трикутники й рівні.

Рис.3.9 Рис.3.10

Задача 4.

Дано паралелограм

. Розглянемо новий параллеограмм , у якого одна вершина збігається з вершиною , сусідня з нею вершина лежить на стороні , а сторона протилежна стороні , лежить на прямій , що проходить через вершину ( рис.3.11). Доведіть, що паралелограми й рівновеликі.

Рішення

Можна вважати (див. попередню задачу) , що сторона

містить точку (рис.3.12). Трикутник - „загальний” для обох паралелограмів ,

по задачі 1.

Рис.3.11 Рис.3.12

Задача 5.

Медіана трикутника ділить його на два рівновеликих трикутники.

Рішення

Нехай

- медіана трикутника . Добудуємо трикутник до паралелограма , провівши через точку пряму , паралельну , а через точки й – прямі , параллелтные ( рис. 3.13). Паралелограми й рівні : паралельний перенос на вектор переводить перший з них у другий . Тому .

Діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутники, виходить,

і

Отже,

Рис.3.13

Задача 6.

Медіани трикутника ділять його на 6 рівновеликих частин.

Рішення

Нехай

- точка перетинання медіан і трикутника ( рис.3.14) . – медіана трикутника , виходить, ; позначимо цю величину через . Нехай також . Оскільки – медіана трикутника , ,тобто , звідки . Аналогічно

Рис.3.14

Задача 7.

Кожна сторона трикутника

продовжена на свою довжину , так що точка - середина відрізка , - середина , точка – середина (рис. 3.15). Площа трикутника дорівнює . Знайти площу трикутника .