Рівносильні та рівновеликі багатокутники (стр. 1 из 5)

Курсова робота

Учбово-посібний матеріал уроків в школі на тему

«Рівносильні та рівновеликі багатокутники»

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. Сутність понять рівносильності та рівновеликості для багатокутників

1.1 Леми та теореми рівносильності та рівновеликості як методів розрахунку площ багатокутників

1.2 Класичні приклади рівновеликості багатокутників, складеними методами „розрізання” та „доповнення” рівноскладеними елементами багатокутників

РОЗДІЛ ІІ. Розрахунок площ випуклих багатокутників методами рівновеликості при геометричних побудуваннях

2.1 Розрахунок площ основних багатокутників (прямокутник, паралелограм, трикутник, трапеція) методом побудови рівновеликих геометричних фігур

2.2 Розрахунок площі несиметричного п’ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника

РОЗДІЛ ІІІ. Розрахунок площ невипуклих багатокутників методами рівновеликості з використанням координатних підходів аналітичної геометрії

3.1 Застосування методу рівновеликості для розрахунку площ багатокутників

3.2 Розрахунок площі невипуклого багатокутника композицією результатів координатно – аналітичного методу

ВИСНОВКИ ТА ПРОПОЗИЦІЇ

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Проблема рівноскладеності та рівносильності рівновеликих фігур формулюється в такий спосіб: чи можна кожну із двох рівновеликих фігур «скласти» з того самого набору фігур? Ця проблема для різних класів фігур вирішується по-різному.

Рівновеликі фігури - це плоскі (просторові) фігури однакової площі (об'єму); рівноскладені фігури - фігури, які можна розрізати на однакове число відповідно конгруентних (рівних) частин. Звичайне поняття рівноскладеності застосовується тільки до багатокутників і багатогранників. Рівноскладені фігури є рівновеликими.

Термін „рівносильність” багатокутників в математиці відсутній, його рідке застосування еквівалентне терміну - „рівні” багатокутники, тобто багатокутники у яких кількість сторін, внутрішні кути при відповідних вершинах та площа одночасно дорівнюють один одному. Основним предметом досліджень математики багатокутників є рівновеликі багатокутники, серед яких „рівносильні” становлять частний випадок.

Угорський математик Я. Больяй (1832) і німецький математик П. Гервин (1833) довели, що рівновеликі багатокутники є рівноскладеними (теорема Больяй - Гервина). Тому розрізуванням на частині й перекладанням їх можна будь-який багатокутник перетворити в рівновеликий йому квадрат.

Поняття рівноскладеності лежить в основі «методу розбивки», застосовуваного для обчислення площ багатокутників: паралелограм «розрізуванням і перекладанням» зводять до прямокутника, трикутник - до паралелограма, трапецію - до трикутника.

Еквівалентним поняттю рівноскладеності є поняття рівнодоповненості, що лежить в основі «методу доповнення», тобто доповнення двох фігур рівними частинами так, щоб фігури, які вийшли після такого доповнення були рівні. Так, паралелограм рівновеликий прямокутнику, який має ті ж самі основу й висоту, трикутник рівновеликий паралелограму із удвічі меншою основою й тією же висотою( або з тією же основою й удвічі меншою висотою). Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, і квадрати, побудовані на його катетах, можна доповнити чотирма рівними трикутниками так , що будуть складені рівні квадрати( це приклад рівновеликості по доповненню на відміну від рівновеликості по розрізуванню).

У курсовій роботі наведені теореми та їх доведення, а також численні приклади побудови рівновеликих багатокутників методами „розрізання” на рівноскладені фігури, а також сучасні методи аналітичної геометрії для обчислення площі будь-якого багатокутника, заданого на координатній площині координатами своїх вершин.

РОЗДІЛ І. Сутність понять рівносильності та рівновеликості для багатокутників

1.1 Леми та теореми рівносильності та рівновеликості як методів розрахунку площ багатокутників

Означення.Багатокутником називається замкнута ламана без самоперетинань. Багатокутник розбиває площину на дві частини, одна йз яких обмежена й називається внутрішністю багатокутника (насправді це твердження, називане теоремою Жордана для багатокутників, не зовсім очевидно) [7].

Означення. Багатокутник називається опуклим, якщо для будь-яких двох точок, що лежать усередині нього, усередині нього лежить також відрізок, який їх з'єднує.

Два багатокутники називають рівносильними (рівноскладеними), якщо один з них можна розрізати на багатокутники й скласти з них іншої. Очевидно, що рівноскладені багатокутники є рівнове-ликими. Виявляється, вірно й зворотне [7].

Теорема Бойя і Гервіна. Будь-які два рівновеликих багатокутники рівноскладені [6].

Так, як ілюстрація умов теореми, на рис.1.1. наведений приклад компьютерної анімації розрізання трикутника на чотири частини (багатокутники) та складання з них квадрату методом послідовного повертання розрізаних частин.

Рис. 1.1 Приклад перетворення рівноскладених та рівновеликих багатокутників (рівнобічний трикутник у квадрат)

Приведемо математичне доказування теореми [6].

Багатокутники P і P’ називаються рівноскладеними, якщо вони допускають розбивки на рівні багатокутники (тобто існують такі розбивки {M₁,..., M_n} і {M’₁,..., M’_n} багатокут-ників P і P’ відповідно, що M_i = M’_i при всіх i < n). Очевидно, що рівноскладені багатокут-ники мають однакову площу. Чи вірно зворотне твердження? Перш ніж відповісти на це питання, доведемо кілька допоміжних тверджень.

Лема 1.Якщо багатокутник P₁ рівноскладений з багатокутником P₂ і багатокутник P₂, у свою чергу, рівноскладений з P₃, то P₁ і P₃ також рівноскладені.

Лема 2.Будь-який трикутник ABC рівноскладений з деяким прямокутником.

Доведення. Нехай [AB] - більша сторона трикутника ABC (рис.1.2). Тоді підстава висоти [CH] належить відрізку [AB]. Через точку M - середину висоти [CH] - проведемо пряму a, паралельну (AB). Позначимо через P, L, E і F точки перетинання прямій a зі сторонами [AC] і [BC], а також проекції точок A і B на пряму a відповідно.

Рис.1.2 До Доведення Леми 2

Тепер рівноскладеність ∆ ABC і прямокутника AEFB витікає з умов ∆ AEP = ∆CMP, ∆BFL = ∆CML. Лема доведена.

Лема 3.Якщо паралелограми ABCD і KLMN мають загальну основу й однакову площу, то вони рівноскладені.

Доведення. Будемо вважати, що відрізки [AB] і [KL] збігаються, і точки M і N лежать на прямій (CD) – рис.1.3. Розглянемо окремо два випадки взаємного розташування відрізків [CD] і [MN]. Перший випадок. Нехай відрізки [CD] і [MN] перетинаються. Не обмежуючи спільності, припустимо, що точка C лежить на відрізку [MN].

Рис.1.3 До доведення Леми 3 Рис.1.4 До доведення Леми 3

Тоді рівноскладеність ABCD і ABMN витікає з умови ∆DAN = ∆CBM.

Другий випадок. Якщо відрізки [CD] і [MN] не перетинаються, то відкладемо послідовно точки C₁ = C,...,C_n так, що [C_iC_i+1] = [CD] при i  n1 і відрізок [C_n1C_n] перетинає [MN] – рис.1.4.

Тепер до ланцюжка паралелограмів ABCD, ABC₁C₂,..., ABC_n1C_n, ABMN досить застосувати перший випадок і лему 1. Лема доведена.

Лема 4.Якщо прямокутники ABCD і KLMN мають однакову площу, то вони рівноскладені.

Доведення. Не обмежуючи спільності міркування, будемо вважати, що відрізок [AB] - найбільша зі сторін даних прямокутників – рис.1.5. Тоді на промені [ML) найдуться такі точки P і S, що S  [PM], [PS] = [KN] і [SN] = [AB]. Чотирикутники ABCD і KNSP, а також KNSP і KLMN рівноскладені по попередній лемі. Тоді з леми 1 витікає, що ABCD і KLMN рівноскладені. Лема доведена.

Рис.1.5 До доведення Леми 4

Лема 5.Будь-який багатокутник M рівноскладений з деяким прямокутником.

Доведення. Нехай {T_i: i<n} - розбивка M на трикутники. Зафіксуємо деякий нетривіальний відрізок [A₁B₁] . Через точки A₁ і B₁ перпендикулярно прямій (A₁B₁) проведемо дві прямі. На цих прямих виберемо сонаправлені промені [A₁X) і [B₁Y). На промені [A₁X) виберемо послідовно точки A₂,...,A_n+1, а на промені [B₁Y) - точки B₂,...,B_n+1 так, що площа прямокутника A_iA_i+1B_i+1B_i дорівнює площі трикутника T_i при i < n. З лем 2 і 4 треба, що T_i і A_iA_i+1B_i+1B_i рівноскладені. Виходить, M і A₁A_n+1B_n+1B₁ рівноскладені. Лема доведена.

Теорема 1.[ Бойяи-Гервин] Багатокутники M і N равноскладені тоді й тільки тоді, коли вони рівновеликі.