Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 10 из 19)
Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).
Глава 3. Операционное исчисление
§ 14. Преобразование Лапласа
Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция
называется оригиналом, если выполняются следующие условия:1)
для всех отрицательных t;2) при
растет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие постоянные M > 0 и c > 0, что 
для всех t.Число с называется показателем роста
. очевидно, что для ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю.Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда
Если функция
удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение 
будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных значениях t.Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как
и т.п.Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами и что оригиналом является функция
при 
(доказательства следует найти самостоятельно).Замечание. Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной степени
, а также функции вида 
являются оригиналами.Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида
, (14.1)где
– комплексный параметр.Теорема. Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Пс:
, где с – показатель роста f (t). В самом деле, по определению оригинала имеем 
. Таким образом, интеграл (14.1) мажорируется сходящимся интегралом 
, и, следовательно, сходится абсолютно в Пс.Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:
(14.2)Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа
(14.3)представляет собой функцию параметра p, определенную в полуплоскости Пс:
. Функция 
называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала 
. Тот факт, что есть Лаплас-образ , обозначается 
или 
.Соотношение (14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа следующие:
1. Теорема линейности. При любых постоянных
и 
.Это утверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов.
2. Имеет место
, что непосредственно следует из неравенства (14.2).3. Теорема подобия. Для любого
.Действительно, полагая
, получим 
.4. теорема смещения. Для любого а
. Действительно, 
.5. теорема запаздывания. Для любого
. По определению преобразования Лапласа имеем
.Здесь учтено, что
при 
. Выполнив в последнем интеграле замену 
, получим 
.Обратное преобразование Лапласа. Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при
оригинал 
, то 
где
– показатель роста 
.Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для
. Таким образом, Лаплас-образ функции 
является Фурье-образом функции . Из формулы обратного преобразования Фурье получим, что в точках непрерывности 
.Отсюда
(14.4)Если в точке t функция
терпит разрыв, то значение интеграла в (14.4) равно полусумме односторонних пределов в этой точке.Формула (14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений в точках разрыва.
§ 15. Изображения простейших функций
Единичная функция Хевисайда. Имеем:
Так как при
, то 
.Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом
по теореме запаздывания получим 
Экспонента. По теореме смещения
Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем
; 
;