Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 11 из 19)

;

.

Степенная функция с натуральным показателем. Положим

, где . Тогда при

.

При

, поэтому

Отсюда

.

Так как

, то

Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов

Периодические функции. Если оригинал

является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу

(15.1)

Действительно, в этом случае

.

Выполнив замену

, в силу периодичности будем иметь

.

Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

Так как при , то ряд сходится, и его сумма равна , откуда и следует доказываемое утверждение.

Пример. Найти Лаплас-образ оригинала

с периодом Т = 1).

Решение. Имеем

Следовательно, в силу (15.1)

.

Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция

, где , а числа образуют возрастающую последовательность, может быть представлена в виде

, ,

где

Тогда

Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции

Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию вида

где

– функция, определенная для всех

Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать

.

Введем функции

, где . Тогда , и по теореме запаздывания

.

Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции

Решение. Так как

;

;

,

то

.

Дельта-функция Дирака. Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций

(15.2)

и семейство их изображений по Лапласу

. (15.3)

При

семейство функций расходится, так как

Введем условную функцию

– дельта-функцию Дирака, которую будем считать пределом семейства (15.2): . Таким образом, дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки , где она равна .

Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при

:

.

Далее по определению положим

; .

Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

(15.4)

(15.5)

(15.6)

Выражения (15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f(t).

Замечание 1. Из утверждения (15.6) следует, что

что полностью соответствует теореме запаздывания.

Замечание 2. В силу (15.4) имеем

.

Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичной функции Хевисайда.

В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений.

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления

Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов

и называется функция

.

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала

и единичной функции Имеем . Так как при то

. (16.1)

Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е.

, следует самостоятельно.

Теорема 1. Если

и , то

.

Действительно, по определению (14.3) имеем

,

где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств