Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 12 из 19)

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

.

Введем вместо t новую переменную

. Тогда

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти оригинал

, если его Лаплас-образ .

Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:

.

Так как

,

то по теореме 1 имеем

.

Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:

,

где а и b – постоянные.

Упражнение 2. Найти свертку функций

и .

Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если

то .

Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда

.

Теорема 3. Если

и – оригиналы и , то

. (16.2)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь

.

Тогда по теореме 1

.

Отсюда

, что и требовалось доказать.

Применив формулу (16.2) дважды, получим

и т.д. В частности, если

, то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:

1. Если

– оригинал с показателем роста , то его изображение имеет в области производные любых порядков.

2. При том же условии пределы, производные и интегралы от

в области можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).

Теорема 4. Если

, то , т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p, получим

.

Справа стоит интеграл Лапласа для функции

, следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Применив несколько раз теорему 4, получим

.

Теорема 5. Если

– оригиналы и , то

,

т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на

. Так как в силу (14.3) имеем , то

.

Поскольку при

и , то

.

Рассмотрим функции

.

По теореме 4 имеем

.

Так как

, то по теореме 5

.

Точно так же получим

.

Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса

.

Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.

Следствие 1. Если сходится интеграл

, (16.3)

то

. (16.4)

Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение

непрерывно в замкнутой области . Переходя к пределу в (14.3) при , приходим к требуемому результату.

Следствие 2. Если сходится интеграл

, то

.

Так как

, то в силу (14.4)

.

Для

справедливо равенство

.

Следствие 3. Если

– оригиналы, то . Действительно, по теореме 3

. (16.5)

С другой стороны,

(см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при , получим требуемый результат.

Следствие 4. Если

– оригиналы и существует конечный предел , то

. (16.6)

Исходим из равенства

. (16.7)

В силу (14.4) и теоремы 3

. (16.8)

Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6).

Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при

, имея в своем распоряжении только их изображения.

Упражнение. Вычислить несобственный интеграл

, где .