Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 13 из 19)

§ 17. Формула разложения Хевисайда

Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.

Теорема. Пусть

, где и – дифференцируемые функции. Введем как полюсы функции , т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если , получим формулу Хевисайда:

. (17.1)

Доказательство проведем для случая, когда

и – многочлены степеней т и п соответственно, при этом т < п. Тогда – правильная рациональная дробь. Представим в виде суммы простейших дробей:

. (17.2)

Отсюда

Коэффициенты найдем из тождества (17.2), переписав его в виде

,

где

.

Умножим обе части последнего равенства на

и перейдем к пределу при . Учитывая, что и , получим

,

откуда и следует (17.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов

и вещественны, то комплексные корни многочлена попарно сопряжены. Следовательно, в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена , и формула Хевисайда примет вид

, (17.3)

где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена

, вторая – на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.

Замечание 2. Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание

, где . Таким образом, вещественным корням ( ) соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями – затухающие колебания, чисто мнимым корням – незатухающие гармонические колебания.

Если знаменатель

не имеет корней с положительными вещественными частями , то при достаточно больших значениях получим установившийся режим:

, (17.4)

где

;

– чисто мнимые корни многочлена с положительными мнимыми частями.

Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при

и поэтому не входят в установившийся режим.

Пример 1. Найти оригинал изображения

.

Решение. Имеем

. Выпишем корни многочлена : .

По формуле (17.1)

.

Здесь

, , так как числа – корни уравнения . Следовательно,

.

Пример 2. Найти оригинал изображения

,

где а > 0;

.

Решение. Здесь функция

, помимо очевидного корня , имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции . Решая уравнение , получим , откуда

.

Таким образом, корни знаменателя

имеют вид и , где

Далее запишем

;

;

По формуле (17.3) находим оригинал

§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

(18.1)

(здесь

) с начальными условиями

. (18.2)

Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь

. (18.3)

Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде

. (18.4)

Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение

, (18.5)

где

(характеристический многочлен); .

Из уравнения (18.5) найдем операторное решение

. (18.6)

Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):