Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 14 из 19)
Для задачи Коши
в принятых обозначениях можно записать 
; 
; 
.Операторное уравнение имеет вид
.разложим операторное решение на простейшие дроби:
.С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:
.Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид
.Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
с начальными условиями 
, где 
.Решение. Запишем операторное уравнение
.Его решение имеет вид
.Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:
.Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
с нулевыми начальными условиями, где 
– ступенчатая импульсная функция.Решение. Запишем операторное уравнение
и его решение
.Из теоремы 2 § 16 следует
;в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)
.Окончательно,
.Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила
. В момент времени t точка подверглась удару, несущему импульс 
. Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.Решение. Уравнение движения запишем в виде
,где
– упругая сила; 
– функция Дирака. Решим операторное уравнение 
,где
. При 
.Если
(случай резонанса), то 
.По теореме запаздывания
.Окончательно,
Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях
. Операторное решение в этом случае имеет вид 
.Пусть весовая функция
– оригинал для 
. тогда по теореме 1 § 16 получим 
. (18.7)Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.
Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию
, полагая 
(18.8)где
– начальные значения искомого решения 
.Как легко видеть,
, и следовательно, 
.Таким образом, функция
– решение уравнения (18.1) с правой частью 
, полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.Используя (18.7), найдем
и 
.Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши
с начальными условиями
.Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8),
. Тогда 
, и для определения 
получим уравнение 
с однородными начальными условиями.Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен
, весовая функция 
. По формуле Дюамеля 
.Окончательно,
.Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид
, (18.9)где
– вектор искомых функций; 
– вектор правых частей; 
– матрица коэффициентов; 
– вектор начальных данных.Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему
, (18.10)где
– Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно.Из (18.10) находим операторное решение
, (18.11)где
; Е – единичная матрица.Оригинал
операторного решения 
(18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).Обозначим
весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для 
, где 
Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь